大数据数学基础第2章 微积分基础（1） (2).ppt

反三角函数 反三角函数里常用的有反正弦、反余弦、反正切和反余切四种，其性质如表所示。 映射与函数 函数 表达式 有界／无界函数 定义域 值域 反正弦函数 y=arcsin x 有界 [-1,+1] 反余弦函数 y=arccos x 有界 [-1,+1] [0,π] 反正切函数 y=arctan x 有界 x∈(-∞,+∞) 反余切函数 y=arccot x 有界 x∈(-∞,+∞) (0,π) （1）数列极限的定义 定义 2?14 如果按照某一法则，每个 对应着的一个确定的实数 ，按照下标n 从小到大排列得到的一个序列 ，称为数列，简记为数列 。数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项 叫做数列的一般项。 定义 2?15 设 为一数列，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （无论它多小），总存在正整数 N，使得当 时，不等式 都成立，那么就称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记为 ，或 。 数列与函数的极限 1. 数列的极限 如果不存在这样的常数 ，则数列 没有极限，或者称数列 是发散的，也称 不存在。 对于计算数列极限，在R语言中，使用Ryacas包中的Limit函数可以求解数列或函数的极限，但在使用Limit函数前需要使用Sym函数构造连接符号，其语法格式如下。 Sym (”x,…“) Limit(expr,var,val) 数列与函数的极限 参数 说明 e 接收SymPy表达式。表示需要进行求极限的数列的一般项或函数。无默认 z 接收symbol。表示需要进行求极限的数列的项或函数的自变量。无默认 z0 接收any expression，包括所有类型的数值、oo和-oo等。表示自变量趋于有限值或趋于无穷大，oo表示无穷大。无默认 dir 接收+或-。+表示求趋于有限值的右极限（z=z0+），-表示求趋于有限值的左极限（z=z0-）。对于无穷大的z0（oo或-oo），dir参数无效。默认为+ 数列与函数的极限 limit函数常用的参数及其说明如表所示。 （2）收敛数列的性质 唯一性：如果数列 收敛，那么它的极限唯一。 有界性：如果数列 收敛，那么数列 一定有界。 保号性：如果 ，且 0（或 0），那么存在正整数N0 ，当nN 时，都有 （或 ）。 收敛数列与其子数列间的关系：如果数列 收敛于 ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 。 数列与函数的极限 （1）有限个无穷小的和也是无穷小。 （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 （3）如果 ， ，那么有如下结论。 。 。 若又有 ，则 。 极限运算法则与存在法则 1. 极限运算法则 法则(3)是函数的极限四则运算法则，数列也有类似的极限四则运算法则，相应的法则如法则(4)所示。 （4）设有数列 与 ， ， ，那么有如下结论。 。 。 当 且 B≠0 时， 。 （5）如果φ(x)≥ψ(x)，而 lim φ(x)=a，limψ(x)=b，那么a≥b 。 极限运算法则与存在法则 （6）（复合函数的极限运算法则）设函数 y=f[g(x)] 是由函数 u=g(x)与函数y=f(u) 复合而成， f[g