6.3.1 平面向量基本定理 导学案（1）-人教A版高中数学必修第二册.docxVIP

6.3.1 平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义； 2.会用基底表示平面内某一向量； 3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。 1.教学重点：平面向量基本定理及其意义； 2.教学难点：平面向量基本定理的探究。 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 实数λ1，λ2，使a＝ ． 2．基底：不共线的向量e1，e2，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 一、探索新知 探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？ 思考1.若向量与共线，还能用表示吗？ 思考2.当是零向量时，还能用表示吗？ 思考3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？ 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 实数λ1，λ2，使a＝ ． 。 例1.如图，不共线，且，用表示。 思考：观察你有什么发现？ 例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。 2.平面向量基本定理及其补充说明： 如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 。 我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 说明：(1).基底的选择是不唯一的； (2).同一向量在选定基底后，是唯一存在的。 (3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同 1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(DC,\s\up6(→))　　　 B．eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→)) C．eq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(CB,\s\up6(→)) D．eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(DA,\s\up6(→)) 2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　) A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定 3．如图，在矩形ABCD中，若eq \o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq \o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \o(OC,\s\up6(→))＝(　　) A．eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq \f(1,2)(5e1－3e2) C．eq \f(1,2)(3e2－5e1) D．eq \f(1,2)(5e2－3e1) 4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \o(CA,\s\up6(→))＋λeq \o(CB,\s\up6(→))，则λ＝(　　) A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2,3) 5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 这节课你的收获是什么？ 参考答案： 探究：如图， 思考1.当向量与共线时，。 当向量与共线时，。 思考2. 思考3：假设， 即， 所以，所以唯一。 例1.解：因为，所以 思考4.如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。 例2.证明：设 所以， 所以。 于是是直角三角形。 达标检测 1.【解析】　由于eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(DA,\s\up6(→))不共线，所以是一组基底． 【答案】　D 2.【解析】　∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)， ∴a＋b与c共线． 【答案】　B 3.【解析】　eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))) ＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)． 【答案】　A 4.【解析】　∵A，B，D三点共线， ∴存在实数t，使eq \o(AD,\s\up6(→))＝teq \o(AB,\s\up6(→))，则eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(CA,\s\up6(→