高一数学上册期中复习知识点总结.docVIP

第 PAGE 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 1 页 高一数学：解函数常见的题型及方法 一、函数定义域的求法 函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。 求具体函数定义域 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中分母不为零 ②偶次方根，被开方数非负 ③对于，要求 ④指数式子中，底数大于零且不等于1 ⑤对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1 ⑥由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束 例：函数y＝＋的定义域为 。 解: 要使函数有意义，则所以原函数的定义域为{x|x≥，且x≠}. 评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。 求抽象函数的定义域 若已知函数的定义域为，其复合函数的定义域由不等式求出的取值范围，即为函数的定义域； 例: 若函数的定义域为，则的定义域为 。 分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。 解：依题意知： 解之，得 ∴　的定义域为 点评：对数式的真数为，本来需要考虑，但由于已包含的情况，因此不再列出。 若已知函数的定义域为，其函数的定义域为在时的值域。 例3：已知的定义域为（-1，5］，求函数的定义域。 解：∵ -1＜x≤5 ∴ -3＜2x-1≤9 所以，函数的定义域为. 函数值域求解方法 求函数的值域是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一，由于求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，所以难度比较大。 以下是求函数值域的几种常用方法： 1、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例：求函数的值域。 例：求函数的值域。 解：∵，∴， ∴函数的值域为。 2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。 例：求函数（）的值域。 解：， ∵，∴，∴ ∴，∴ ∴函数（）的值域为。 3、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例：求函数在区间上的值域。 分析与解答：任取，且，则 ，因为，所以：， 当时，，则； 当时，，则；而当时， 于是：函数在区间上的值域为。 4、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 例：求函数的值域。 解：由可得， 则其反函数为，其定义域为： ∴函数的值域为。 5、换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。 例：求函数的值域。 解：令（），则， ∴ ∵当，即时，，无最小值。 ∴函数的值域为。 6、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 例：求函数的值域。 解：由变形得， 当时，此方程无解； 当时，∵，∴， 解得，又，∴ ∴函数的值域为 7、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。 例：求函数的值域。 解：∵， ∵，∴， ∴函数的值域为。 8、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例：求函数的值域。 解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得 ， ∵，∴（，）， ∴，∴， ∴函数的值域为 求函数解析式的方法 求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析. 1、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例： 已知 ，求 的解析式 解：， 2、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例： 已知，求 解：令，则， 3、待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法 例：已知是二次函数，且，求的解析式 解：设 ∴解得 ∴ 4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。