考点11 不等式选讲- 高考（文）模考考前复习指导与抢分集训.docxVIP

专题一 核心考点速查练 考点11 不等式选讲 1.绝对值不等式的解法 2.含参数的绝对值不等式 3.用柯西不等式求最值 4.证明不等式 1．设a，b，c为正数，a＋b＋4c2＝1，则eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(2)c的最大值是________，此时a＋b＋c＝________. 【答案】eq \f(\r(10),2)　eq \f(8＋\r(5),10) 【解析】由柯西不等式得(a＋b＋4c2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(1,2)))＝[(eq \r(a))2＋(eq \r(b))2＋(2c)2]·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)) ≥(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(2)c)2， 因此eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(2)c≤eq \r(?a＋b＋4c2?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(1,2)))) ＝eq \f(\r(10),2)eq \r(a＋b＋4c2)＝eq \f(\r(10),2)， 当且仅当eq \f(\r(a),1)＝eq \f(\r(b),1)＝eq \f(2c,\f(\r(2),2))＝2eq \r(2)c，即eq \r(a)＝eq \r(b)＝2eq \r(2)c， 此时a＝b＝8c2，因此a＋b＋4c2＝8c2＋8c2＋4c2＝20c2＝1，解得c＝eq \f(\r(5),10)，a＝b＝eq \f(2,5)， 因此a＋b＋c＝eq \f(2,5)＋eq \f(2,5)＋eq \f(\r(5),10)＝eq \f(8＋\r(5),10). 2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是________． 【答案】eq \f(6,5) 【解析】由柯西不等式(2x2＋3y2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)) ≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)x·\f(1,\r(2))＋\r(3)y·\f(1,\r(3))))2＝(x＋y)2＝1， ∴2x2＋3y2≥eq \f(6,5)，当且仅当2x＝3y，即x＝eq \f(3,5)，y＝eq \f(2,5)时，等号成立． 3．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______，最小值点为________． 【答案】eq \f(4,25)　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25)，\f(8,25))) 【解析】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥eq \f(4,25). 当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)时等号成立，为求最小值点， 需解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,\f(x,3)＝\f(y,4).))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,25)，,y＝\f(8,25).)) 因此，当x＝eq \f(6,25)，y＝eq \f(8,25)时，x2＋y2取得最小值，最小值为eq \f(4,25)，最小值点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25)，\f(8,25))). 4．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则eq \f(2,a)＋eq \f(2,b)＋eq \f(2,c)的最小值为________． 【答案】2 【解析】∵(a＋b＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(2,b)＋\f(2,c))) ＝[(eq \r(a))2＋(eq \r(b))2＋(eq \r(c))2]eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,a))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,b))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,c))))2)) ≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)·\r(\f(2,a))＋\r(b)·\r(\f(2,b))＋\r(c)·\r(\f(2,c))))2＝18. ∴eq \f(2,a)