6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教学设计（1）-人教A版高中数学必修第二册.docxVIP

6.3.2 平面向量的的正交分解及坐标表示 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj. 于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。 课程目标 学科素养 A.会把向量正交分解； B.会用坐标表示向量； 1.数学抽象：向量的正交分解； 2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量； 3.数学运算：求向量的坐标； 1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示； 2.教学难点：平面向量的坐标表示。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 复习回顾，温故知新 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。 我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 探索新知 1.平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。 思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？ 【解析】在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示． 作向量，设，所以。 【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。 两向量相等时，坐标一样。 例1．如图，用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标 【解析】:由图可知,a=+=xi+yj, ∴a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3).[来源:学*科*网Z*X*X*K] 通过复习上节所学平面向量基本定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 通过思考，建立点的坐标和向量坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。 通过例题练习向量的坐标表示，提高学生解决问题的能力。 三、达标检测 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 【解析】　(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标． 2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且eq \o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则eq \o(OB,\s\up6(→))＝________；eq \o(OD,\s\up6(→))________. 【解析】因为eq \o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以eq \o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)， 同理eq \o(OD,\s\up6(→))＝(－1，1)． 3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AD,\s\up6(→))的坐标． 【解析】由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得x1＝cos30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq \f(1,2)， 所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a