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三角函数值域与最值的求法 大家知道，求三角函数值域与最值问题主要包括：①给定自变量x的取值范围，求三角函数的值域或最值；②自变量x为任意实数，求三角函数的值域或最值两种类型。那么到底如何解答求三角函数值域与最值问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(x∈R)。 （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)在区间〔,〕上的最大值和最小值； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②三角函数最小正周期的定义与求法；③辅助角公式及运用；④正弦函数的图像与性质。 【解题思路】（1）运用二倍角公式和辅助角公式把函数f(x)化成f(x)= Asin(x+)的形式，根据三角函数最小正周期的公式求出函数f(x)的最小正周期；（2）由x〔,〕求出 2x+ 的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数f(x)的最大值和最小值。 【详细解答】（1） f(x)=2 sinx cosx-2cos x+1= sin2x- cos2x= sin(2x+ )， T= =；（2） x〔,〕，2x+〔,〕， -1sin (2x+ )1， =1=，=（-1）=-。 y 2、已知函数y=Asin(x+)(A＞0, ＞0, |---2 | |≤)的一段图像如右图所示。 | （1）求函数f(x)的解析式； - 0 | x （2）求这个函数的单调递增区间； -2------- | （3）求函数在区间〔,〕上的最大值和最小值。 【解析】 【知识点】①三角函数的图像与性质；②三角函数最小正周期的公式及运用；③根据三角函数图像上的点确定的基本方法；④正弦函数的图像与性质。 【解题思路】（1）根据三角函数的图像确定A和T的值，运用公式T=求出的值，由点（-，2）在函数f(x)的图像上，求出的值，从而得到函数f(x)的解析式=；（2）运用正弦函数的性质得到不等式2k- 2x+ 2k+ ，解这个不等式就可得出结果；（3）由x〔,〕求出2x+ 的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数f(x)的最大值和最小值。 【详细解答】（1）由图知，A=2，=-（-）=，T=，==2， f(x) =2sin (2x+ )，点（-，2）在函数f(x)的图像上，2=2sin [2（-）+ ]= 2sin （-+ ）， sin （-+ ）=1，-+ = 2k+ ，= 2k+（kZ），| |≤，= ， f(x)=2sin (2x+ )；（2）由2k- 2x+ 2k+ ，解得k- x k-（kZ），函数f(x)的单调递增区间是[k- ，k-] （kZ）；（3） x〔,〕，2x+〔,〕， -1sin (2x+ )-， =2（-）=-，=2（-1）=-2。 『思考问题1』 （1）【典例1】是运用正弦函数（或正弦型函数）与余弦函数（或余弦型函数）的有界性来求三角函数的值域或最值的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦函数与余弦函数的图像和性质，尤其是正弦函数与余弦函数的值域都是［-1,1］这一特殊性质； （2）对于正弦型函数与余弦型函数只需把(x+)看成整体未知数，进而将问题转化为正弦函数与余弦函数的问题来解决。 〔练习1〕解答下列问题： 1、求函数y=sinx〔sinx-sin(x+)〕的最大值和最小值； 2、求函数y=的最大值和最小值； 3、已知函数f(x)= x-2sinxcosx-x。 （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的最大值和最小值。 【典例2】按要求解答下列各题： 1、求函数f(x)=cos2x-6cosx的值域； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②换元法的定义与基本方法；③一元二次函数的定义，图像与性质。 【解题思路】运用二倍角公式把函数f(x)化成f(x)= 2 cos x -6 cos x -1的形式，设t= cos x，t〔-1,1〕，得到函数f(t)=2-6t-1，根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。 【详细解答】 f(x)= 2 cos x -6 cos x -1，设t= cos x，t〔-1,1〕，f(t)=2-6t-1， 函数f(t)在〔-1,1〕上单调递减，= f(-1)=2 -6(-1)-1=7，= f(1)= 2 1-61-1=-5。 2、是否存在实数a，使得函数y=x+acosx+a-在闭区间〔0, 〕上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值，若不存在，说明理由； 【解析】 【知识点】①换