《线性代数》复习要点.ppt

? 三. 向量 ? 矩阵A与B的列向量组等价 ? B的列向量组能由 A的列向量组 线性表示 ? A的列向量组能由 B的列向量组 线性表示 初等列变换 初等列变换 《线性代数》复习要点 ? 三. 向量 注: 初等行变换 ?(?1) 无法通过初等列变换实现 矩阵A与B的行向量组等价, 但列向量组不等价. 初等列变换 ?(?1) 无法通过初等行变换实现 矩阵C与B的列向量组等价, 但行向量组不等价. 《线性代数》复习要点 ? 三. 向量 设A与B是同类型的矩阵, 但是反过来, 都未必成立. 例如: (1) 若它们的行向量组等价, 则r(A) = r(B), 从而可得A与B等价(相抵). (2) 若它们的列向量组等价, 则r(A) = r(B), 从而可得A与B等价(相抵). 则A与B等价(相抵), 但它们的行向量组不等价, A = 1 0 0 0 , B = 0 0 0 1 , 列向量组也不等价. 《线性代数》复习要点 ? 三. 向量 其中?1, …, ?s是维数相同的列向量(?1, ?2, …, ?s也是维数 相同的列向量), 则?1, …, ?s也是线性相关的. 一些常用的结论 (1) 含有零向量的向量组一定线性相关. (2) 单个向量? 构成的向量组线性相关? ? = ?. (3) 两个向量?, ?线性相关? ?与?的分量成比例. (4) 若?1, …, ?s线性相关, 则?1, …, ?s, ?s+1, …, ?t也线性相关. 若?1, …, ?s, ?s+1, …, ?t线性无关, 则?1, …, ?s也线性无关. (5) 任意n+1个n维向量线性相关. (6) 如果向量组 , …, 线性相关, ?1 ?1 ?s ?s 线性无关. 若?1, ?2, …, ?s线性无关, 则 , …, ?1 ?1 ?s ?s 《线性代数》复习要点 ? 三. 向量 则I0与I等价. (7) 向量组?1, …, ?s (s?2) 线性相关的充分必要条件是: 其中至少有某一个向量可由其余的向量线性表示. (8) 若向量组?1, …, ?s线性无关, 而?1, …, ?s, ?线性相关, 则? 一定能由?1, …, ?s线性表示, 且表示的方式是唯一的. (9) 若向量组I: ?1, …, ?s可由向量组II: ?1, …, ?t 线性表示, 并且s t, 则向量组I是线性相关的. (10) 若?1, …, ?s线性无关, 且可由?1, …, ?t线性表示, 则s ? t. (11) 若向量组?1, …, ?s和?1, …, ?t都线性无关, 并且这两个 向量组等价, 则s = t. (12) 设I0: ?1, …, ?r是向量组I: ?1, …, ?s的一个极大无关组, 一些常用的结论 《线性代数》复习要点 ? 三. 向量 这两个向量组的秩都是2, 但它们不等价. 事实上, I中的 不能由II线性表示. ) 例如: 一些常用的结论 (13) 若向量组I: ?1, …, ?s可由向量组II: ?1, …, ?t线性表示, 则秩(I)?秩(II); 若这两个向量组等价, 则秩(I) = 秩(II). (注: 一般情况下, 两个向量组的秩相等时, 它们未必等价! , 1 0 0 0 I: ; 0 1 0 0 II: , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 1 0 0 0 《线性代数》复习要点 ? 三. 向量 例16.设A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 , 求A的列向量 组的一个极大无关组. 1 6 ?4 ?1 4 0 ?4 3 1 ?1 0 0 0 4 ?1 0 0 0 0 0 解: A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 初等 行变换 可见A的第1, 2, 4列构成A的列向量组的一 个极大无关组. 《线性代数》复习要点 ? 三. 向量 例17. 设?1 = ?1 + 2?2, ?2 = ?2 + 2?3, ?3 = ?3 + 2?1. 证明: ?1, ?2, ?3线性无关??1, ?2, ?3线性无关. 证明: 由条件可知?1, ?2, ?3能由?1, ?2, ?3线性表示, 所以?1, ?2, ?3线性无