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几何不等式的证明及应用 一、1 ．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中 ，将综合运用到我们所学的很多知识 ，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和 一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法； 代数方法。 2 ．证明几何不等式常用方法（1）代数方法 ：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题， 其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几 何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长 的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反. （2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三 角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用 已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一 个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式. （3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓住几何图形 的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证 中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富 于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3 ．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4 ．几个著名的几何不等式 （1）托勒密定理的推广 ：在凸四边形 ABCD 中，一定有 ：AB  CD  AD  B C  A C  BD ，等号成立时四边形 ABCD 是圆内接四边形. 证明 1：取点E ，使BAE  CAD ，ABE  A CD 则 ABE ∽A CD AB BE AB AE ∴  ，  ∴AB  CD  A C BE （1） A C CD A C AD 又 BA C  DAE ∴AB C ∽AED B C A C ∴  ∴B C  AD  A C  DE DE AD ∴AB  CD  B C  AD  A C  BE  A C  DE  A C  (BE  DE )  A C  BD 上式等号成立当且仅当 E 在对角线 BD 上.此时 ABD  A CD ，从而四边形内接于圆. 证明 2 ：复数法：设A 、B 、C 、D 对应的复数分别是 z1 、z2 、z3 、z4 用到下面的恒等式 (z  z )(z  z )  (z  z )(z  z )  (z  z )(z  z )  0 1 4 2 3 2 4 3 1 3 4 1 2 则 AB  CD  AD B C | (z  z )(z  z ) |  | (z  z )(z  z ) | | (z  z )(z  z )  (z  z )(z  z ) | 1 2 3 4 1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 | (z  z )(z  z ) | A C BD 2 4 3 1 （2） （嵌入不等式）设 x , y , z R , A  B  C  (2k  1) ,k Z ， 1 / 11 求证： x 2  y 2  z 2  2yz cos A  2zx cos B  2xy cos C 等号成立的充要条件是： x  y cos C  z cos B 及 y sin C  z sin B . 证明： x 2  y 2  z