第2章 随机变量及其分布讲解.ppt

指数分布的 无记忆性 : 设随机变量 X 服从参数为 θ 的指数分布 , 则 } { } | { t X P s X t s X P ? ? ? ? ? 此即表明 : 已知元件使用了 s 小时 , 它总共 能使用至少 s + t 小时的条件概率 , 与从开始 使用时算起它至少能用 t 小时的概率相等 . 也就是说 : 元件能使用的时间与新旧无关 . 无记忆性 是指数分布的特性，自然界中 仅指数分布具有 无记忆性 。 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究 最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重 要的地位。也是我们 整个课程中最重要的分布 。 A B A ， B 间真实距离为 ? ，测量值为 X 。 X 的概率密度应该是什么形态？ 其中 ? 为实数， ? 0 ，则称 X 服从参数为 ? , ? 2 的正态分布 , 记为 N( ? , ? 2 ) ，可表为 X ～ N( ? , ? 2 ) 。 若随机变量 ? ) ( , 2 1 ) ( ~ 2 2 2 ) ( ?? ? ? ?? ? ? ? x e x f X x ? ? ? ? (1) 单峰对称（位置参数 ? ） 密度曲线 关于直线 x= ? 对称 ; 并且 max f(x) ＝ f( ? ) ＝ . ? ? 2 1 正态分布有两个特性 ? (2) ? 的大小直接影响概率的分布 ( 形状参数 ? ) ? 越大，曲线越平坦 ， ? 越小，曲线越陡峻 。 正态分布也称为高斯 (Gauss) 分布 ? 参数 ? ＝ 0 ， ? 2 ＝ 1 的正态分布称为标准正态分 布，记作 X~N(0, 1) 。 标准正态分布 ?? ? ? ?? ? ? x e x x , 2 1 ) ( 2 2 ? ? 分布函数表示为 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? x dt e x X P x x t , } { ) ( 2 2 1 2 ? 其密度函数表示为 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表 供读 者查阅 ? (x) 的值 (P439 附表 2) 。如 ? (0.5)=0.6915, P{1.32X2.43}= ? (2.43)- ? (1.32)=0.9925-0.9066 显然， ? ( － x) ＝ 1 － ? (x) ； 设 X~N(0,1) ，则 P{aXb}= ? (b) － ? (a) ， P{|X|x}=2 ? (x) － 1 一般正态分布与标准正态分布的关系 定理 若 X ～ N( ? , ? 2 ) ， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x X P x X P x F X } { ) ( ), 1 , 0 ( ~ N X Z ? ? ? ? 因此 1 、设随机变量 X~N(1,2 2 ), 则 P{0X1.6}= ? 2 、设 X ? N( ? , ? 2 ), 分别求 P{|X- ? | ? } ， P{|X- ? | 2 ? } ， P{|X- ? |3 ? } ? 随机变量 ? 离散型随机变量及其分布律 ? 随机变量的分布函数 ? 连续型随机变量及其密度函数 ? 随机变量函数的分布 关于随机变量的研究，是概率论的中心内 容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关 心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或 某些量，而这些量就是随机变量．也可以说： 随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而 随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析 中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等 数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率 论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更 高的理论体系，其基础概念是 随机变量 . 定义 设 S={e} 是试验的样本空 间，如果量 X 是定义在 S 上的一 个单值实值函数即对于每一个 e ? S ，都有一实数 X=X(e) 与之对 应，则称 X 为 随机变量 。 随机变量的特点 : 1. X 的全部可能取值是互斥且完备的 2. X 的部分可能取值描述随机事件 随机变量常用 X 、 Y 、 Z 或 ? 、 ? 、 ? 等表示。 例 引入适当的随机变量描述下列事件： ①将 3 个球随机地放入三个格子中， 事件 A ={ 有 1 个空格 } ， B ={ 有 2 个空格 } ，