复数与平面几何题(潘成华、周文化).pdf

用复数解平面几何题的尝试 宿迁市泗洪县育才实验学校 周文化 文武光华数学工作室 潘成 【摘要】用复数法解决某些平面几何题往往显得简洁而特别，尤其是那些规则的，容易得出较简洁表达式 的问题。本文通过具体的问题谈谈对复数解平面几何题的若干尝试。 关键词 复数，共轭复数，平面几何 为使符号表示简明，文中约定使用复数时，①用 AB 表示 “B  A ”，代替通常的写法 AB ，② AB 表示复 数 AB 的共轭复数，③引入符号“1 ”与“i ”： x 1 y 表示 Re(x)=Re(y),即复数 x,y 的实部相等；x i y 表示 Im(x)=Im(y),即复数 x,y 的虚部部相等. 由此约定不难得出，“p 是实数”等价于“p  0” ，“p 是纯虚数”等价于“p  0”. i 1 命题 1. 设x  a  b i ，y  a  b i ，其中a ，b R ，i  1,2 ； 1 1 2 2 i i (1) x  y  x  y 1 x  y 1 0 ； (2) x // y  x  y i x  y i 0 . 证明：只证充分性 （1）当x  y 时，易知a a  b b  0 ；由x  a  b i 可得x  a  b i ， 1 2 1 2 1 1 1 1 故x  y  (a  b i)  (a  b i)  (a a  b b )  (a b  a b )  i ， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 于是 Re ( x  y )= a a  b b =0 ，即x  y  0 ，再由共轭复数的性质可得x  y  0 . 1 2 1 2 1 1 (2) 由(1)可知x  y  (a a  b b )  (a b  a b )  i ， 1 2 1 2 1 2 2 1 当x // y 时，易知a b  a b  0 ， 1 2 2 1 ∴Im ( x  y )= a b  a b =0 ，即x  y  0 ，再由共轭复数的性质可得 x  y  0 . 1 2 2 1 i i 注：实际上x  y 的实部、虚部分别对应于向量(a ，b ) 与(a ，b ) 的内积、外积.