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线性系统理论
电气工程学院 于龙
Email: yulong.swjtu@163.com
第三章 线性系统的运动分析
本章教学内容 ：
●状态方程的解；
●矩阵指数函数的计算；
●状态转移矩阵；
●状态方程和脉冲响应矩阵；
●线性定常系统的解；
●模态分解；
§3.1 状态方程的解 Linear system theory
运动轨迹
§3.1 状态方程的解 Linear system theory
预备知识：线性定常系统的运动
自由运动 强迫运动
线性定常系统在没有控 线性定常系统在控制u
制作用，即u ＝0时，由 作用下的运动，称为强
初始状态引起的运动称 迫运动
自由运动
u 0 x u x
(A, B) (A, B)
齐次状态方程的解 ： 非齐次状态方程的解：
x Ax , x (t) | x (t ) x Ax Bu , x (t) | x (t )
t t0 0 t t0 0
§3.1 状态方程的解 Linear system theory
1. 自由运动 ：
考虑 u(t)=0 ，给定
x Ax
x Ax
通常t =0 t 0
x (t ) x t t0 0 x (0) x0
0 0
响应为 x eA (tt0 ) x (t ) 响应为x eAt x (0) (1)
0
A t
e 称为矩阵指数函数
A t 1 2 2 1 k k
e I At A t A t
2! k 0 k !
§3.1 状态方程的解 Linear system theory
证明（1 ）式： eA t 对任何A t都收敛！
2
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