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对角互补专题探究(一)
基本图形:
如图1,在四边形FBDE中,∠EDF+∠EBF=1800,旋转∠FBE得到∠HBI,求证:△FBH∽△EBI;
如图2,在四边形FBDE中,∠EDF+∠EBF=1800,连接BD,∠DBE=∠CBF,若△BCD为等边三角形,探究:线段DE、DF、BD之间的数量关系________________________;
如图3,在四边形FBDE中,∠EDF+∠EBF=1800,连接BD,∠DBE=∠CBF,若BD⊥DC,∠DCB=30°
探究:线段DE、DF、BD之间的数量关系______________________;
图1图3图2
图1
图3
图2
例1.已知直角梯形ABCD, AD∥BC, ∠A=900, ∠EBF=∠C.
(1)当AD:AB=1:,∠C=600时,如图1所示,求证:DE+DF =BC;
(2).当AD:AB=1:1,∠C=450时,如图2所示,则线段DE、DF 、BC之间的数量关系_______________;
(3).在(2)的条件,如图3所示,若AB=2时,3BM=MC,连接AF、FM,若AF与BE交于点N,当∠AFM=450时,求线段NF的长度.
图1
图1
图3图2
图3
图2
变式训练:
1.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,AD=AB,∠A=900,∠C=600,DH⊥BC于H,P为BC上一点,作∠EPF=600,此角的两边分别交AD于E, 交CD于F.
(1).如图1,当点P在点B处时,求证:2 AE+CF=2CH;
(2).如图2,当点P在点H处时,线段 AE、CF、CH的数量关系为____________________;
(3).在(2)的条件下,连接FB、EF,FB与FH交于点K,若AB=,EF=,求线段FK的长度.
图2图1图3
图2
图1
图3
2.已知平行四边形ABCD, ∠C=60°,点E、F分别为AD、CD上两点∠EBF=∠C.
(1).如图1,当AB=BC时,求证:CF+AE=BC;
(2).如图2,当AB=BC时,线段:CF、AE、BC三者之间有何数量关系_______________;
图2(3)在(2)的条件下如图3,若AB=6,连接EC与BF交于M,当△BEM为等边三角形时,求线段FM的长.
图2
图3图1
图3
图1
例2.已知:△ABC中,∠ACB=900, ∠B=300 ,点P为边AB上的一点, ∠EPF=900,PF与边AC交于点F,PE与边BC交于点E. 设AP:PB=
(1)如图1,当=时,则: AF+ _____ BE=AB;
(2).如图2,当=1时,线段AF、BE、AB的数量关系为___________________;
(3).在(2)的条件下,如图3,连接CP,EF交于点K,将FP沿着EF对称,对称后与CP交于点M ,连接ME,若AC=3,当ME∥FP时,求tan∠CEM的值.
图1图2
图1
图2
K
K
图3
变式训练:
1.等边△ABC中,BH为AC边上的高,点P为AB边中点,∠EPF=900,此角的两边与AC边交于点F,与高BH交于点E.
(1)如图1,求证: FH+BE=AB;
(2)如图2,则线段FH、BE、AB之间满足的关系式为____________;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接EF,直线EF与BC交于点N,将FN沿着FP对称,对称后与AB交于点M,若AC=,AM:BM=1:3,时,求BN长度.
图2图3
图2
图3
图1
图1
对角互补专题探究(二)
1.直线m∥n,点A、B分别在直线m、n上,且点A在点B的右侧.点P在直线m上,AP=13AB,连接BP
以PB为一边在PB右侧作等边△BPC,连接AC.过点P作PD⊥n于点D.
(1)当点P在A的右侧时(如图1),求证:BD=58
(2)当点P在A的左侧时(如图2),线段BD与AC之间的数量关系为_______________.
(3)在(2)的条件下,设PD交AB于点N,PC交AB于点M(如图3).若△PBC的面积为734,求线段MN
nm
n
m
C
D
P
B
A
图2
n
m
D
C
P
B
A
图1
n
n
m
C
D
P
B
A
图3
2.如图,直线y= -kx+4k (k>0)与x轴交于B,与y轴交于D,点O与点C是关于直线BD对称,连接BC,若AC=.
(1)求k的值;
(2)点P为OB的中点,动点E从点B出发,每秒1单位速度沿BH向点H运动,过点P做PE的垂线交AC于点F,当点F与点O重合时点E停止运动. 设运动时间为
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