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宗旨:不是好题,不入此集 勤奋是一种品质,优秀是一种习惯
抛物线中等腰三角形存在性问题及平行四边形存在性问题探讨
高邮市赞化学校 段广猛
(题目来源:高邮市赞化学校九年级寒假检测,即寒假作业4 最后一题)
题目 如图1,在平面直角坐标系中,已知点C(0,4),点A、B在x轴上,并且OA OC 4OB,
动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等腰三
角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点Q 为线段AC上一点,若四边形OCPQ为平行四边
形,求点Q 的坐标.
学生解题、教师讲题要做到以下四步:求“解”、求“思”、
求 “变”、求 “通”,笔者称之为 “解题四部曲”.
第一步,求 “解”:
对于第 (1)问,可利用A、B坐标设成 “交点式”
y a(x+1)(x-4),代入C点坐标,易求得解析式为
2
y x 3x 4.
对于第 (2)问,这是一个等腰三角形存在性问题,题目强
调 “△ACP是以AC为底边的等腰三角形”,故可作出线段AC 的
垂直平分线,其与抛物线的两个交点即为所求,如图2所示.这
里可以说真是“无巧不成书”,注意到本题中OA OC 4这个特殊
性,易求得AC 的垂直平分线的解析式为y x,具体可 “反其道
而行”,操作如下:过O作OD⊥AC于D,由△AOC为等腰直角三
角形可证OD垂直平分AC,从而直线OD与抛物线的两个交点P 、1
P 即为所求,而且直线OD 的解析式显然为y x,将之与抛物线
2
y x x 1 5 x 1 5
联立得 2 ,解之得 或 ,
y x 3x 4 y 1 5 y 1 5
从而要求的P点坐标为 或 .
(1 5,1 5) (1 5,1 5)
1 6
你若不离不弃,我必生死相依 第 页 共 页 你若自我放弃,我也无能为力
宗旨:不是好题,不入此集 勤奋是一种品质,优秀是一种习惯
对于第 (3)问,这是一个平行四边形存在性问题,题目已强调其 “名字”,即“四边
形OCPQ为平行四边形”,顺序已定,并且 “点Q 为线段
AC上一点”,导致本题只有一种可能,无需分类,但需
画图分析,如图3所示.由抛物线解析式及直线AC:
2
y -x+4,可设P (t,t 3t 4 ),Q (t,-t+4),于是
2 2
y y t 4t
PQ - Q (t 3t4)(t4) ,因为
P
2
OC 4,所以PQ 4,即t 4t 4,解得t t 2,
1 2
故要求的Q点坐标为 (2,2).
第二步,求 “思”:
学生解题后、教师改题后都需要有反思的习惯.
对于第 (2)问中等腰三角形的存在性问题,本题的
解题策略是求出AC 的垂直平分线,进而与抛物线联立解方程求出P点坐标,对于这点也可
以用 “确定性思想”去分析,A、C两点是确定的,线段AC 的垂直平分线也随之确定,这
样其与抛物线的交点也就确定了,即为所求,而且借助 “因果关系”分析,最终的P是由
最初的A、C两点形成的,也应该可以由A
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