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《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解 (基础)
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐角A确定:
(1)sinA= ,这个比叫做∠A 的正弦.
(2)cosA= ,这个比叫做∠A 的余弦.
(3)tanA= ,这个比叫做∠A 的正切.
要点诠释:
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的,其本质是两条线段的比值,它只是一个数值,
其大小只与锐角的大小有关,而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号,即表示∠A三个三角函数值,书写时习惯上省略符号 “∠”,
但不能写成sin ·A,对于用三个大写字母表示一个角时,其三角函数中符号 “∠”不能省略,应
写成sin∠BAC,而不能写出sinBAC.
2 2 2
(3)sinA表示(sinA) ,而不能写成sinA .
(4)三角函数有时还可以表示成 等.
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2.锐角三角函数的定义
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.
要点诠释:
1. 函数值的取值范围
对于锐角A 的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是∠A 的函数.同样,cosA、
tanA也是∠A 的函数,其中∠A是自变量,sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取
值范围是0°<∠A<90°,函数值的取值范围是0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.
2.锐角三角函数之间的关系:
余角三角函数关系: “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°,
那么:sinA=cosB; cosA=sinB;
2 2
同角三角函数关系:sinA+cosA=1;tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重,是
几何计算题的基本工具,三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.
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解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如图:
角角关系:两锐角互余,即∠A+∠B=90°;
边边关系:勾股定理,即 ;
边角关系:锐角三角函数,即
要点诠释:
解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形:
(1)已知两条边(一直角边和一斜边;两直角边);
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角;斜边和一锐角).这两种情形的共同之处:有一条边.因
此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边.
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1. 解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几
何图形,建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问
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