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玩转45度
————————以一道月考压轴题为例
段广猛 （江苏省高邮市赞化学校）
题目：如图，已知抛物线 2 与x轴交于
y x bxc
7
点A、B，且经过点C （0，2）、D(3， )，点P是直线CD
2
上方抛物线上一动点，当PCD 45 时，求P点坐标.
2 7
首先易求抛物线解析式为y x x 2，直线CD
2
1
的解析式为y x 2，然后紧抓一条路 “45 构造等
2
腰直角三角形 构造 字形全等”，出现以下若干解法.
K
例题图
基本途径一：设坐标法 （包含解法 、解法 ）
1 2
解法 ：如图 ，过点 作 ⊥PC 交CD 于点Q，作PE⊥y 轴于点E，再过点Q作QF
1 1 P PQ
2 7
⊥PE 于点F，则△PCQ 为等腰直角三角形，△CPE≌△PQF，设P （m，m m 2 ），
2
2 7 2 9
则QF=PE=m，PF=CE=m m，点Q 坐标为 （x PF ，y QF ），即Q （m m，
2 P p 2
2 5 1
m m 2），将Q 点代入直线CD：y x 2得，
2 2
2 5 1 2 9
m m 2 (m m) 2 ，即m(2m1) 0，
2 2 2
1 1 7
解之得m （m=0 舍去），故P （ ， ）.
2 2 2
解法 中构造出 字形全等后，设出 点坐标，再表
1 K P
示出 点坐标，代入直线求解.值得说明的是，若反过来
Q
设出Q点坐标 （尽管它是一次的），但想要表示出P点坐
标还需要再设元，虽然能做但比较麻烦.
图1
作者简介：段广猛 （1989年—），男，江苏宿迁人，中学一级教师，任教于高邮市赞化学校，理学硕士，
毕业于苏州大学数学系，主要从事数学教育与中学教学研究。
解法 ：如图 ，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作平行于 轴的直线，并分别过点
2 2 P PQ CD Q Q y
、点 向该直线上作垂线 、 ，垂足分别为点 、
P C PE CF
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