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《一道好题,若干解法,变式训练,升华提升》
说明:常州于新华(于特)供题,群里众大师巧解,本人整理与变通(扬州段广猛)于2016年10月3日下16:00!
(第二十五届“五羊杯”卷第19题)如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABD=45°,BD=13,CD=5,则AD的长度为_____________.(注:已知数据已同比例放缩至最简整数比)
法一(构造等腰直角三角形+K字形+A字形相似):
简析:由△AEF∽△ABC得,,解得:x=,故AD=.
法二(构造等腰直角三角形+矩形大法+ X字形相似):
简析:由△AEF∽△BEG得,,解得:x=,故AD=.
法三(构造等腰直角三角形+斜X型相似):
简析:由AE=BE得,5x+13=12x,解得:x=,故AD=.
法四(构造等腰直角三角形+三垂直全等1+面积法或相似或三角):
简析1:△AED≌△BEF,再由△ABF“双高模型”中面积法得:,解得:x=,故AD=.
简析2:△AED≌△BEF,再由△ACF∽△BCD得:,解得:x=,故AD=.
法五(构造等腰直角三角形+三垂直全等2+面积法或相似或三角):
简析:△AEF≌△BAC,再由△EFD∽△BCD得:,解得:x=,故AD=.
法六(构造等腰直角三角形+勾股定理+母子型相似):
简析:在Rt△ABC中由勾股定理得 EMBED Equation.DSMT4 ,再由△ABD∽△AEB得 EMBED Equation.DSMT4 ,所以有 EMBED Equation.DSMT4 解得:x= EMBED Equation.DSMT4 ,故AD= EMBED Equation.DSMT4 .
法七(构造双等腰直角三角形+一线三等角1):
简析:由一线三等角得△AFB∽△BED得, EMBED Equation.DSMT4 ,即 EMBED Equation.DSMT4 ,即 EMBED Equation.DSMT4 ,解得:x= EMBED Equation.DSMT4 ,故AD=.
法八(构造双等腰直角三角形+一线三等角2):
简析:由一线三等角得△AFB∽△BED得, EMBED Equation.DSMT4 ,即 EMBED Equation.DSMT4 ,即 EMBED Equation.DSMT4 ,解得:x= EMBED Equation.DSMT4 ,故AD= EMBED Equation.DSMT4 .
法九(构造辅助圆+勾股定理,“图中无圆,心中有圆”):
简析:构造△ADB的外接圆⊙O,则∠AOD=2∠ABD=90°,过点B作BF⊥OE于F,在Rt△OBF中,由勾股定理得得,解得:x= EMBED Equation.DSMT4 ,故AD=2x= EMBED Equation.DSMT4 .
法十(翻折+造正方形+勾股):
简析:将△CDB沿BD翻折至△EDB位置,再将△CAB沿AB翻折至△FAB位置,则易证四边形BEGF为正方形,在Rt△AGD中,由勾股定理得得 EMBED Equation.DSMT4 ,解得:x= EMBED Equation.DSMT4 ,故AD= EMBED Equation.DSMT4 .
法十一(构造坐标系+K字形全等)(本人方法):
简析:构造如图所示坐标系及辅助线,则直线AB解析式为: EMBED Equation.DSMT4 ,则点A坐标为A(,0),故AD=.
法十二(因果法+三角函数法):
简析:借助因果关系知∠CBD确定,且∠ABC=45°+∠CBD也是确定的,故可解!借助正切和三角公式知:,故,所以,即AD=.
最后一种解法是站在高视角下的因果关系分析法,无需做任何辅助线,但缺憾明显,用到了高中三角函数公式,再初中属超纲范畴。回归此法,过程中用到了正切和三角公式,反思此过程,笔者联想到正切差三角公式,因而演变出下面一题:
(变式训练)如图,△ABC中,∠BCD=90°,∠ABD=45°,BD=13,CD=5,则AD的长度为_____________.(注:此题相当于原题中的45度角关于BD对称所得)
此题是否可以如原题那样,各种解法均适用呢?读者可以尝试完成!笔者先来最后一法(高视角下的因果关系分析+三角函数法):借助因果关系知∠CBD确定,且∠ABC=45°∠CBD也是确定的,故可解!借助正切差三角公式知:,故,所以,即AD=.
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