课件一维装箱问题典型算法.ppt

* 第三章 装箱问题 信息处理中的组合优化 第三章 装箱问题 §1 装箱问题的描述 §2 装箱问题的最优解值下界 §3 装箱问题的近似算法 第三章 装箱问题 装箱问题（Bin Packing）是一个经典的组合优化 问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜 . §1 装箱问题的描述 设有许多具有同样结构和负荷的箱子 B1，B2，… 其数量足够供所达到目的之用 . 每个箱子的负荷（可为 长度、重量 etc.）为 C ,今有 n 个负荷为 wj，0 wj C j = 1，2，…，n 的物品 J1，J2，…，Jn 需要装入箱内. 装箱问题： 是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将 J1，J2，…，Jn 全部装入箱内. §1 装箱问题的描述 由于 wi C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n . 设 箱子 Bi 被使用 否则 物品 Jj 放入箱子 Bi 中 否则 则装箱问题的整数线性规划模型为： 约束条件（1）表示：一旦箱子 Bi 被使用，放入 Bi 的物品总负荷不超过 C ； 约束条件（2）表示：每个物品恰好放入一个箱子中 . 第三章 装箱问题 上述装箱问题是这类问题最早被研究的，也是提 法上最简单的问题，称为一维装箱问题 . 但 装箱问题的其他一些提法： 1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、 体积 etc . 即二维、三维、…装箱问题； 2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C ; 而是 最优目标可如何提？ 3、物品J1，J2，…，Jn 的负荷事先并不知道，来货是 随到随装；即 在线（On-Line）装箱问题； 4、由于场地的限制，在同一时间只能允许一定数量的 箱子停留现场可供使用, etc . §1 装箱问题的描述 BP 的应用举例： 1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度, 而用 户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸, 如何根据用 户提出的要求，用最少的线材截出所需的定货； 2、 二维 BP 玻璃厂生产出长宽一定的大的平板玻璃, 但用户所需玻璃的长宽可能有许多差异，如何根据用 户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货; 3、计算机的存贮问题 如要把大小不同的共 10 MB 的 文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB , 已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件 不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 . 4、生产流水线的平衡问题 给定流水节拍 C , 如何设置 最少的工作站，（按一定的紧前约束）沿着流水线将任 务分配到各工作站上 . 称为带附加优先约束的 BP . BP 是容量限制的工厂选址问题的特例之一. Go back 第三章 装箱问题 §2 装箱问题的最优解值下界 由于 BP 是 NP-C 问题，所以求解考虑 一是尽可能 改进简单的穷举有哪些信誉好的足球投注网站法，减少有哪些信誉好的足球投注网站工作量 . 如: 分支 定界法；二是启发式（近似）算法 . 显然 是它的一个最优解 . §2 装箱问题的最优解值下界 Theorem 3.1 BP 最优值的一个下界为 表示不小于 a 的最小整数. Theorem 3.2 设 a 是任意满足 的整数,对 BP 的任一实例 I , 记 则 是最优解的一个下界 . 第三章 装箱问题 a C C/2 C-a I1 I2 I3 Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品的装箱 . 中物品的长度大于C/2 , 每个物品需单独放入一个箱子， 这就需要 个箱子 . 又 中每个物品长度至少为 a , 但可能与 I2 中的 物品共用箱子， 它不能与 I1 中的物品共用箱子, 与 I2 中的物品如何？ 由于放 I2 中物品的 个箱子的剩余 总长度为 在最好的情形下， 被 I3 中的物品全部充满，故剩 下总长度 将另外至少 个附加的箱子 . Note: 可能小于零 是最优解的一个下界 . §2 装箱问题的最优解值下界 问 ？ 未必！ 如 Corollary 3.1 记 则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 . Proof