高二下学期期末复习.docVIP

第 PAGE 13页 版权所有 不得复制 矩阵与变换 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 矩阵与变换 1. 理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能进行矩阵的乘法运算； 2. 掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示； 3. 熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组。 填空题 解答题 本专题高考命题热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算和逆矩阵以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题。 二、重难点提示 重点：掌握几种常见的矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算。 难点：熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组。 1. 二阶矩阵的乘法规则 定义：设矩阵A＝，B＝，则A与B的乘积 AB＝＝ 。 【要点诠释】 （1）两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律。即（AB）C＝A（BC），AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C。 （2）一般地，两个矩阵中只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算。 2. 逆变换与逆矩阵 （1）对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵； （2）若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）－1＝B－1A－1。 （3）可逆矩阵的充要条件：二阶矩阵A＝可逆，当且仅当detA=0，此时；与此相反，若detA=0，则二阶矩阵A＝不存在逆矩阵。 【要点诠释】 验证某两个矩阵互逆要进行两个验证：（1）AB＝E；（2）BA＝E。 3. 特征值与特征向量 设数值和非零向量，满足，由此得。如果是矩阵A的特征向量，则是上述方程组的一个解，反之，若是上述方程组的一个解，则是矩阵A的一个特征向量。而该方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 =0，记 ，则。解此方程，求得的值，代入方程组求得相应的y的值，便可得到属于该特征值的一个特征向量。 为矩阵A的特征多项式，0称为矩阵A的特征方程。 （矩阵与变换） 例题1 （苏州）已知a，b是实数，如果矩阵M＝ 所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值。 思路分析：利用待定系数法设点（x，y）是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点（x′，y′），由矩阵的乘法运算法则构建方程组求得a，b的值。 答案：设点（x，y）是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点（x′，y′）， 则 ，所以 因为点（x′，y′），在直线x＋2y＝1上， 所以 （2＋2b）x＋（a＋2）y＝1，即，所以。 技巧点拨：理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键。 （二阶行列式与逆矩阵） 例题2 已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标。 思路分析：二阶矩阵A＝可逆，当且仅当detA=0，此时。 答案：依题意，由M＝，得detM＝1≠0，故M－1＝. 从而由，得＝＝＝， 故，∴A（2，－3）为所求。 技巧点拨：求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解。在求逆矩阵时要重视（AB）－1＝B－1A－1性质的应用。 已知矩阵A＝，B＝。 （1）求（AB）－1； （2）求直线2x＋y－5＝0在（AB）－1对应变换作用下的直线方程。 思路分析：利用公式法直接代入求（AB）－1即可。 答案：（1）AB＝＝，又|AB|＝－3－1＝－4， ∴（AB）－1＝. （2）设P（x0，y0）是直线2x＋y－5＝0上任意一点，P′（x，y）是在变换作用下点P的象， 则有＝（AB）－1＝，∴，∴ 代入直线方程2x＋y－5＝0，得2（x－y）－（x＋3y）－5＝0，即x－5y－5＝0，即为所求的直线方程。 （矩阵的特征值与特征向量） 例题3 已知a∈R，矩阵A＝对应的线性变换把点P（1，1）变成点P′（3，3），求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量。 思路分析：求特征值和特征向量，按其步骤求解。 答案：由题意 ＝＝，得a＋1＝3，即a＝2，矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）2－4＝（λ＋1）（λ－3）， 令f（λ）＝0，所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3。 ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组得一个非零解， 因此，α＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组得一个非零解， 因此，β＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量。 技巧点拨：已知A＝，求特征值和特征向量，其步骤为： （1）令f（λ）＝＝（λ－a）（λ－d）－bc＝0，求出特征值λ； （2）列方程组； （3）赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量。 用坐标转移的