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1.6 命题逻辑的推理理论 推理的形式结构 判断推理是否正确的方法 推理定律与推理规则 构造证明法 推理的形式结构—问题的引入 推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界. (2) 若AèCíBèD，则AíB且CíD. 推理: 从前提出发推出结论的思维过程 上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理. 证明: 描述推理正确的过程. 推理的形式结构 定义 若对于每组赋值，或者A1ùA2ù…ù Ak 均为假， 或者当A1ùA2ù…ùAk为真时, B也为真, 则称由A1, A2, …, Ak推B的推理正确, 否则推理不正确（错误）. “A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确 当且仅当 A1ùA2ù…ùAk?B为重言式. 推理的形式结构: A1ùA2ù…ùAk?B 或 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B 若推理正确，则记作：A1ùA2ù…ùAkTB. 判断推理是否正确的方法 真值表法 等值演算法 判断推理是否正确 主析取范式法 构造证明法 证明推理正确 说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方 便, 此时采用形式结构“ A1ùA2ù…ùAk?B” . 而在构 造证明时，采用“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”. 实例 例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 推理的形式结构为: (p?q)ùp?q 证明（用等值演算法） (p?q)ùp?q ? ?((?púq)ùp)úq ? ?pú?qúq ? 1 得证推理正确 实例 (续) (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号. 推理的形式结构为: (p?q)ùq?p 证明（用主析取范式法） (p?q)ùq?p ? (?púq)ùq?p ? ? ((?púq)ùq)úp ? ?qúp ? (?pù?q)ú(pù?q)ú (pù?q)ú(pùq) ? m0úm2úm3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确. 推理定律——重言蕴涵式 重要的推理定律 A T (AúB) 附加律 (AùB) T A 化简律 (A?B)ùA T B 假言推理 (A?B)ù?B T ?A 拒取式 (AúB)ù?B T A 析取三段论 (A?B)ù(B?C) T (A?C) 假言三段论 (A?B)ù(B?C) T (A?C) 等价三段论 (A?B)ù(C?D)ù(AúC) T (BúD) 构造性二难 推理定律 (续) (A?B)ù(?A?B) T B 构造性二难（特殊形式） (A?B)ù(C?D)ù( ?Bú?D) T (?Aú?C) 破坏性二难 推理规则 推理规则(续) 直接证明法 例2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 前提: púq, q?r, p?s, ?s 结论: rù(púq) 直接证明法 例2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 前提: púq, q?r, p?s, ?s 结论: rù(púq) 证明 ① p?s 前提引入 ② ?s 前提引入 ③ ?p ①②拒取式 ④ púq 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q