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两线段和最小 求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称 知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一 个性质： 一、性质推导 例题：如图所示，在河岸 L 的一侧有两个村庄A 、B ，现要在河 岸 L 上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到 A ，B 两 村庄的距离之和最短？ 首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作 B 点关于 L 的 对称点 B , 在直线 L 上任意定一点 M ，连接B B ，BM ，B M ，根据 1 1 1 轴对称知识，我们可以求证 BM ＝B M ， 1 所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称 轴上任意一点的距离相等。 在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点 B 到河岸 L 上任 意点 M 的距离等于对称B1 到点 M 的距离。 要使 AM+ B M 最小，必须使 A 、M 、B 三点共线， 1 1 也就是说，必须使点 M ，与A B1 连线和 L 的交点N 重合， 所以，河岸上的 N 点为到 A 、B 的距离之和最小的点。 B A N M O L B1 证明：M 为 L 上的任意点 因为BM ＝B M 1 所以，BM+AM ＝B M+AM ，而B M+AM 大于 B A ， 1 1 1 所以，结论成立 二、应用 1 ：在图（1）中，若A 到直线 L 的距离AC 是 3 千米，B 到直 线 L 的距离BD 是 1 千米，并且 CD 的距离4 千米，在直线 L 上找一 点 P ，使PA+PB 的值最小。求这个最小值。 解：作出 A B （作法如上图） 1 过 A1 点画直线 L 的平行线与BD 的延长线交于H ， 在 Rt△A1BH 中，A1H=4 千米，BH=4 千米， 用勾股定理求得 A1B 的长度为4 2 千米， 即PA+PB 的最小值为4 2 千米。 A B L C P D A 1 H 图（1） 2 、 如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点 M （x ， 0 ）到定点P （5，5 ）和到Q （2 ，1）的距离分别为MP 和 MQ ，那么 当MP+MQ 取最小值时，点 M 的横坐标x=__________________ 。 Y