“等时圆”物理专题.pdf

妙用“等时圆”解物理问题 一、什么是“等时圆” 2004 年高考试题： 如图 1 所示，ad、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b 、c、d 位于同一圆周 上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三 个滑环分别从 a、b 、c 处释放（初速为 0 ），用t 、t 、t 依次表示各滑环到达 d 所用的时 1 2 3 间，则（） A.t t t B.t t t C.t t t D.t =t =t 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R ， 由牛顿第二定律得， 图 1 mg cos  ma ① 再由几何关系，细杆长度L  2R cos ② 1 2 设下滑时间为t ，则L  at ③ 2 R 由以上三式得，t  2 可见下 4 滑时间与细杆倾角无关，所以 D 正确。由此题 g 图2 我们可以得出一个结论。 结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点 所用的时间相等。 (1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑， R 到达圆周最低点时间均相等，且为 t＝2 (如图甲所示) ． g (2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由 R 静止下滑，到达圆周低端时间相等为 t＝2 (如图乙所示)． g 象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 一、 等时圆模型（如图所示） 二、 等时圆规律： 1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的 时间相等。（如图 a） 图a 图b 2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b） 3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即 1 2d 4R R t0    2 （式中R 为圆的半径。） g g g 三、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为 ，圆的直径为 d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速 度为零的匀加速直线运动，加速度为 a  g sin  ，位移为 s  d sin  ，所以运动时间为 2s 2d sin  2d t    0 a g sin  g 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。 　　规律 AB 、AC 、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A 、B 、C、D 位于同一圆周上，A 点为圆周的最高点， D 点为最低点.每根杆