复变函数论课件1.1 2 3.pptVIP

1. 两复数的和: 2. 两复数的积: 3. 两复数的商: 全体复数关于上述运算(对加、减、乘、除运算封闭），做成一个数域.称为复数域，用C表示. 定理: 1.3 复数的代数运算: 例3 解 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 例 解 1.3共轭复数: 共轭复数的性质: 以上各式证明略. 1. 点的表示 2. 向量表示 3. 三角表示 4. 指数表示 二、复平面: 2?.1复数的几何表示 * 1. 复平面的定义 (1 )点的表示 点的表示： 数z与点z同义. o x y (z) P(x,y) x y ? (2) 向量表示 o x y (z) P(x,y) x y ? 称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) 辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 z=0时，辐角不确定。 计算 argz(z≠0) 的公式 o x y (z) P(x,y) x y ? 当z落于一,四象限时，不变。 当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。 * 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. * 复数和差的模的性质 (3) 三角表示 (4)指数表示 注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要. * 例: 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解： 故三角表示式为 解题步骤： 1、求出复数的模 r 2、求出辐角主值θ 指数表示式为 * 故三角表示式为 指数表示式为 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。 x y (z) O (0, -1) 2 解 例3 用复数方程表示:中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 例4 方程 表示 什么图形？ 三、复数在几何上的应用 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根 四、 复数的乘幂与方根 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) (1) 乘积与商 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。 o x y (z) z1z2 z2 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 证明 ? Argz=Argz2-Argz1 即： 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 (2)复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 定义 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。 应用数学基础专业网络 课程简介 课程名称 复变函数 教