复变函数课件5.2.ppt

小结与思考 理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征; 熟悉零点与极点的关系. 思考题 思考题答案 作业： * * * * * * * * * * * 三、零点与极点的关系 §2 解析函数的孤立奇点 二、孤立奇点的分类 四、典型例题 一、孤立奇点的概念 一、孤立奇点的概念 1.定义 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 例1 是函数 的孤立奇点. 是函数 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. 例2 指出函数 在点 的奇点特性. 解 即在 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 不是孤立奇点. 所以 二.孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1）定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那么孤立奇点 称为 的可去奇点. 二.孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1）定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那么孤立奇点 称为 的可去奇点. 说明: (1) (2) 无论 在 是否有定义, 补充定义 则函数 在 解析. 2).可去奇点的刻画-- 定理5.3函数f(z) 内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限， 其中 是一个复数。 证明：（必要性）.由假设，在 内，f(z)有洛朗级数展式： 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在 内解析，于是显然存在着： （充分性）.设在 内，f(z)的洛朗级数展式是 由假设，存在着两个正数M及 ，使得在 内， 那么取 ，使得 ，我们有 当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令 趋近于0，就得到 于是 是f(z)的可去奇点。 推论5.3： 函数f(z) 内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数 使得f(z)在 内有界。 3) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 的洛朗级数无负 在 如果 幂项则 为 的可去奇点. (2) 判断极限: 若极限存在且为有限值, 则 为 的可去奇点. 例1 中不含负幂项, 是 的可去奇点 . 如果补充定义: 时, 那末 在 解析. 例2 说明 为 的可去奇点. 解： 所以 为 的可去奇点. 无负幂项 另解 的可去奇点. 为 2. 极点 其中关于 的最高幂为 即 阶极点. 那末孤立奇点 称为函数 的 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, 按照m=1或m1，我们也称 是f(z)的单极点或m重极点。 下面研究极点的特征。设函数f(z)在 内解析， 是f(z)的 阶极点，那么，f(z)有洛朗展式： 在这里 。于是在 内 在这里 是一个在 内解析的函数，并且 反之，如果函数f(z)在 而 是一个在 内解析的函数，并且 ，那么可以推出 是f(z)的m阶极点。 内可以表示成 2)极点的刻画—定理： 定理5.4设函数f(z)在 内解析，那么 是f(z)的极点的必要与充分条件是： 证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数 使得在 内， ， 于是 在 内解析， 不等于零，而且 因此 是F(z)的一个可去奇点，从而 内，有洛朗级数展式： 我们有 由于在 内， ，由定理5.1，可以设 由此得， 其中 在 内解析，并且不等于零 于是在 内 在这里， 在 内解析， 因此 是f(z)的m阶极点。 推论5.4设函数f(z)在 内解析，那么 是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是： 在这里m是一个正整数， 是一个不等于0的复数。 3)极点的判定方法 的负幂项为有 的洛朗展开式中含有 限项. 在点 的