复变函数论课件1. 1（4 ） 4.ppt

第一章 复数与复变函数 第一章 复数与复变函数 典型例题 三、小结与思考 作业 第一章 复数与复变函数 * 3.内点: 4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集. * 5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. * D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 * 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 7.有界区域和无界区域: * (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. * 二、单连通域与多连通域 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: * 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). * 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 如果对区域 D内的任一条简单闭曲线的内部总属于D, 则称D为单连通区域。 一个区域若不是单连通区域, 就称为多(复)连通区域. 单连通区域 多连通区域 4. 单连通域与多连通域的定义: 例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通域(如图). 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. 表示到1, –1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 例2 解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. 是多连通域. 不是区域. 单连通域. 1. 本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点复数的有关概念、表示方法及复数的运算,它是本节课的重点. 2. 应理解区域的有关概念: 3. 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域 4. 理解单连通域与多连通域. 第三节 复变函数及其极限与连续 3.1、复变函数 3.2、极限与连续 章 章 章 * * 第一节 复数的概念与运算 1.4、复数的乘幂与方根 1.5、复球面与无穷远点 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) (1) 乘积与商 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 复数的乘幂与方根 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。 o x y (z) z1z2 z2 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 证明 ? Argz=Argz2-Argz1 即： 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ . 二、幂与根： 幂 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z