复变函数论课件1.3.ppt

第一章 复数与复变函数 一、复变函数的极限和连续 设在复平面C上已给点集E，对 点 如存在一个确定的法则f ，按照这一法则，对于集 合E 中的每一个复数z，就有一个或几个复数与 之对应，则称复变数 w 是复变数z的 函数(简称复变函数), 记作 3）复变函数与实变函数的关系： 即有 这说明一个复变函数可以用两个 二元实变函数 来表示。 例： 2.复变函数的几何意义 (1)在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系 来表达两对变量 u，v 与 x，y之间的对应关系，以便在 研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观. (2)以下不再区分函数与映射（变换）。 课堂作业研究w=z2 把下列曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1)以原点为圆心，2为半径，在第一象限里的园弧； 2)倾角 的直线； 3)双曲线x2-y2=4. 课堂作业研究w=z2 把下列曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1)以原点为圆心，2为半径，在第一象限里的园弧；2)倾角 的直线；3)双曲线x2-y2=4. 3.复变函数的极限与连续 2)函数的连续性 二、小结与思考 根据定理一可知, 例4 证 根据定理一可知, ①连续的定义: 连续的 三要素: （1） f(z)在z0处有定义 （2）f(z)在z0处有极限 （3）f(z)在z0处的极限值等于函数值 例：证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 （1）因为f (z)=argz在原点没有定义，故不连续。 (2) 在负实轴上 在在负实轴上不连续。 例 试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续 证： ② 复变函数连续存在的充要条件 ③ 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。 在整个复平面内是连续的； 在整个复平面内除分母为0点外处处连续。 由以上的讨论可得： 有理整函数(多项式) 有理分式函数 ① 定义 3) 函数的一致连续性 若对任意给定的 可以找到一个与 有关但与z无关的一正数 使得当 则称函数 在集 上一致连续. 并且当 ② 一致连续一定连续,反之未必. 证明:连续显然,下证不一致连续. ,当n充分大时, 可以取到最小,但 2. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多. 1. 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了. 思考题 “函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？ 思考题1答案 在复变函数中, 对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就点的对应而言的. 思考题2答案 没有关系. 极限值都是相同的. 作业： 第41-42页 第11、 12，14（3）、（7）、（10）题 章 * * 第三节 复变函数及其极限与连续 3.1、复变函数 3.2、极限与连续 1.复变函数的定义: 1）单(多)值函数的定义: 2）定义域和函数值集合: A 等均为多值函数。 注 以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。 若令z=rei? ,则 w=f(z)=u(r,?)+i v(r,? ) 1） 引入: 2）复变函数的几何意义: 取两张复平面，分别称为z平面和w平面 解 例2 还是线段. 例2 解 例2 解 仍是扇形域. 解：设 则 w=z2 相当于 E变换 将 平面上的圆周 映射成 平面上的何种曲线？ 1）函数极限的定义: 当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的 象点f(z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中. ①几何意义: (a) 定义中的z趋向于z0的方式必须是任意的, 比一元实变函数要求更高. (b) 若f(z)在z0处有极限,其极限是唯一的. ② 极限存在的充要条件 这个定理说明求复变函数 的极限问题可以转化为求两个二元实函数 的极限问题。