复变函数课件5.1.ppt

* * * * * * * 三、解析函数在无穷远点的性质 二、解析函数的孤立奇点 第五章 解析函数的洛朗展式 及孤立奇点 一、解析函数的洛朗展式 三、洛朗级数与泰勒级数间的关系 §1 解析函数的洛朗展式 一、双边幂级数 二、解析函数的洛朗展式 四、典型例题 解析函数在解析点的邻域内可以展开成幂级数。因而幂级数在研究解析函数在其解析点的邻域内的性质时是一种十分有效的工具，然而讨论函数在它的奇点的邻域内的状况时，它就无能为力了。 但是在实际问题中却经常遇到这类函数：f(z)在z0 处不解析,但在z0 的某个去心邻域 0 |z-z0|R内却是解析的。 一、双边幂级数 既然 f (z)在 z = 0与z =1不能表示成幂级数，那么它是否可以用其它形式的函数项级数来表示呢？ 不难推出： 因此虽然在 z = 0与z =1的邻域内不能表示成幂级数，但它在 z = 0或 z =1的某个去心邻域内却可以用一种既含正幂项又含负幂项的级数来表示。 由此，引起我们兴趣的问题至少有以下两个： （1）既含正幂项又含负幂项的级数有什么性质？ （2）在去心邻域 0 |z-z0| R内的解析函数与这种既含正幂项又含负幂项的级数有无必然联系？ 下面我们来讨论一下双边幂级数。 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公共部分 R . 结论: . 常见的特殊圆环域: . . . 例如， 都不解析, 但在圆环域 及 内都是解析的. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成幂 级数? 答案是肯定的！ 即 内可以展开成级数. 也可以展开成级数： 二.解析函数的洛朗展式 定理5.2 为洛朗系数. 证明：设z是圆环D内任一点，在D内作圆环， 使得 ，这里 用 分别表示圆 由于 在闭圆环 上解析，根据柯西公式，有 其中积分分别是沿 关于它们所围成圆盘的逆时针方向取的。 当 时，级数 当 时，级数 而当 时，级数 把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式 其中， 由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。 注解： 1.由于函数f(z)的解析区域不是单连通区域，所以公式 不能写成： 注解2.我们称 为f(z)的解析部分， 而称 为其主要部分。 注解3.我们称 为f(z)的洛朗展式。 三、函数的洛朗展开式 常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 . 2. 间接展开法 例1 内是处处解析的, 试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数. 解 四、典型例题 o x y 1 1 2 o x y 由 且仍有 2 o x y 由 此时 仍有 1. 给定了函数 与复平面内的一点 以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛 例2、?? 及 在 内的洛朗级数展式是： 例3、?? 在 内的洛朗级数展式是： 解 练习： 1、由: R1 | z-z0 | R2找到 z0 ,知道函数应展开 成 的形式。 2、利用已知函数的泰勒展开式对函数变形，使之 含有 (z-z0), 再求出所给函数的幂级数展开式 展开成洛朗级数的步骤： 五、小结与思考 在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函 数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级 数是本节的重点和难点. 洛朗级数与泰勒级数有何关系? 思考题 洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是 一个普通幂级数; 思考题答案 是一般与特殊的关系. 洛朗级数的收敛区域是圆环域 作业： * * * * * * *