§1.5 事件的独立性.ppt

copyright 2006 ALL RIGHTS RESERVED. §1.5 事件的独立性 例1 在52张扑克牌中任取一张，记A为“取到黑 桃”，B为“取到爱司”，A、B是否独立？ 补充说明 定义：设有随机试验E1和E2，若E1的任一结果（事件）与E2的任一结果（事件）都独立，则称这两个试验相互独立。如分别掷两枚硬币的试验。 类似地可以定义n个相互独立的试验。 特别地，如果n个相互独立的试验是相同的，则称之为n重独立重复试验；如果每次试验的结果都是两个，则称之为n重伯努利试验。 如：掷n个骰子、检查n个产品的试验是n重独立重复试验，而掷n个硬币的试验则是n重伯努利试验。 * 一、两个事件的独立性 1、独立性的一般含义 事件A与事件B发生的概率没有关系、影响。 2、定义 设A、B是两事件，若满足 P(AB)＝P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立。 例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”， B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？ （1）独立性的判定必须严格按定义来确定，而不能 凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆。 （2）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立 也是有区别的。把例2中的三个小孩改为两个小孩， 则A、B不相互独立。 例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”， B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？ 若把条件中的“三个小孩”改为“两个小孩”， 则有： 独立性的性质： 一些特殊情形： 二、多个事件的独立性 例3 从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立. 例4 甲、乙二人同时独立向同一目标射击一次，甲击 中率为0.9，乙击中率为0.8，求目标被击中的概率。 解：设A—甲击中，B—乙击中，C——目标被击中. 例5 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。若你每周买一张彩票，坚持十年（520周），你从未中奖的可能性是多少？ 注：同理有AB与C独立，A-B与C独立。 例7 有两名选手比赛射击，轮流对同一目标进行射击， 甲击中率为α，乙击中率为β。甲先射，谁先击中谁得 胜。问甲、乙获胜的概率各是多少？ 解：记Ai为“第i次击中目标”，i＝1，2，….因为 甲先射（只能在第奇次击中目标），故“甲获胜”可 表示为： 例8 一个学生欲到三家图书馆借一本参书．每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2．各家图书馆是否购进该书相互独立．问该学生能够借到书的概率是多少？ 思考：满足全概率公式条件吗？ 独立性的条件？ 正确解法： 相互独立。 类似全概率公式 三、 伯努利试验和二项概率 二项概率 在n重伯努利试验中，若事件A在每次试验中出现的概率都是p，求在n次试验中恰出现k次A的概率。 分析：若指定某k次出现A，则另外n-k次出现　　. 由独立性知，该事件的概率为 再由组合数知识知，在n次试验中恰出现k次A的概率为 该公式与二项式定理的一般形式相同，故称之为二项概率。 补充说明 应用二项概率时应注意： 1、涉及的试验是n重伯努利试验； 2、所求的事件是：只知次数，不知位置； 3、二项概率在实际中的应用非常广泛； 4、当n较大时，二项概率的计算比较困难。 例9　从次品率p=0.2的一批产品中，有放回地抽取5次，每次取1件。分别求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率。 解：记k——抽取的5件中的次品数。 例10　设有1000个人购买了某项人身意外保险，每年支付投保金额300元。若在一年内发生意外，可获得的平均赔付金额为10000元。[根据资料统计，该类投保人在一年内发生意外的比例为1％]求： 1、保险公司能够获利的概率； 2、保险公司每年获利不少于10万元的概率。 分析：保险公司获利的多少与发生意外的投保人数有关，而所有1000人发生意外的概率是相同的，且他们是否发生意外是相互独立的。因此，可以利用二项概率来解决这个问题。 解：记k——出现意外的投保人数；A——获利； B——获利不少于10万元。 思考题： 2、一颗骰子掷4次至少得1个六点与两颗骰子掷24次 至少得1个双六，这两个事件，哪一个出现的概率大？ 答案:(1)独立；(2) 0.518, 0.491 . * *