§2.1随机变量及其分布.ppt

copyright 2006 ALL RIGHTS RESERVED. 第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 用分布函数表示事件的概率 三、离散随机变量的概率分布列 求分布列的一般步骤 确定样本空间。 确定随机变量的可能取值。 确定随机变量的每个取值所对应的事件。 求出每个事件的概率。 列出表格或写出一般的概率表达式。 2.分布列的基本性质 3、离散型随机变量的分布函数 说 明 横坐标表示 体重 纵坐标〔小矩形的高〕表示 频率/小区间长度 每个小矩形的面积表示频率。 所有小矩形的面积之和等于1。 曲线所围成的曲边梯形和矩形的关系怎样的？ 曲线函数的自变量和因变量表示什么？ 随机变量的取值， 单位长度上的平均概率。 当分割无限细的时候，可以用概率代替频率，从 而引入了密度函数的概念。 概率密度的性质： X的分布列为 0.6 0.3 0.1 P 1 2 3 X X的分布函数为 思考：如何由分布函数求分布列？ 分析：由分布列与分布函数的关系，考虑X的可能取值有哪些？ 思考：X还能取到其他数值吗？ 例8 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车 首次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 引例 新生婴儿的体重X是一个随机变量，假如记录 很多个（如一万）新生婴儿的体重，可以把各种体重 的频率直方图画出来。 体重 频率 每个小矩形面积=？ 所有矩形总面积=？ 当组距→0时， 四、连续随机变量及其概率密度函数 定义：设X是随机变量，F(x) 是它的分布函数， 若存在一个非负可积函数p(x)， 使得对任意的x∈R ，有 则称X为连续性随机变量， 称p(x) 为X的概率密度函数或分布密度函数。 注：分布函数表示在 x 处的累积概率，把其导数 称为概率密度是非常合理的。 非负性： 正则性： 概率密度在概率计算中的应用： 注：（2）式中的区间可以是开（闭或半开）区间。 关于连续型随机变量的分布函数的补充说明： 密度函数与分布函数的关系： 1 由分布函数求密度函数比较简单，下面考虑如何由密度函数来求分布函数. 例9.设随机变量X密度函数为 求常数c 和分布函数. * 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。 用X的取值来表达事件. 正 反 抛一枚硬币，观察出现正面还是反面. 掷骰子观察出现的点数. 若规定出现正面记为0，出现反面记为1，则 用X的取值来表达事件. 在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系. 一、随机变量的概念 不管随机试验的结果是否具有数量的性质，都可以 建立一个从样本空间到实数空间的对应关系，进而 用数值来表示事件。 正 反 正 反 0 1 一般地， 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 一、随机变量的概念 补充说明: 1、随机变量是样本点的函数，其函数值是实数，但 自变量（样本点）不一定是实数。 2、与微积分中的变量不同，还存在其取值的概率的 问题。（分布） 3、随机变量X的全部可能取值是互斥且完备的。 例1 将一枚硬币抛三次，引入适当的随机变量描述下列事件；并计算其概率。 A={恰出现2次正面}，B={至少出现1次正面}. X的取值是互斥且完备的。 例1 将一枚硬币抛三次，引入适当的随机变量描述下列事件；并计算其概率。 A={恰出现2次正面}，B={至少出现1次正面}. 例2　从一批总量为N、次品率为p的产品中，不放回地抽取n(nNp)个，观察抽取产品中的次品数。并引入适当的随机变量来表示。 分析：记X——抽取的产品中的次品数，则X是一个随机变量，其可能取值为0,1,2,……，n. 并且，X的每一取值[范围]都与某一具体事件相对应。 例如： 二、随机变量的分布函数 为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我们引入 了分布函数的概念。