§2.2随机变量的数学期望.ppt

copyright 2006 ALL RIGHTS RESERVED. 第二节 随机变量的数学期望 注意：随机变量的数学期望不一定都存在！ 例4 计算柯西分布的数学期望. * 例1〔分赌本问题〕 甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法 朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌 博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？ 分析：假设赌博继续下去，情况如下： 乙胜 甲胜 乙胜 甲胜 甲胜的概率为： ?. 一、数学期望的引入 例1〔分赌本问题〕 甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法 朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌 博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？ 设甲得到的赌本为X，则X的分布为 甲胜的概率为： ?. 甲应该获得赌本的3/4. 说明：该问题涉及随机变量的分布， 且含有均值的意义. 算术平均与加权平均 问题：如果已知离散随机变量X的分布 如何求X的平均取值？ 加权平均数的计算： 随机变量的平均值： 概率替换频率 二、数学期望的定义 为随机变量X的数学期望. 补充说明： 加权平均数： 离散随机变量期望： 连续随机变量期望： 频率 概率 概率 注：期望是均值的推广或更一般的形式. 例2 〔疾病检验问题〕在一个人数为N的人群中普查 某种疾病，抽验N个人的血。方案①：分别检验； 方案②：按k个人一组来检验。(注：若k个人的混合 血液呈阴性，则每个人的血液都呈阴性；若k个人的 混合血液呈阳性，则至少有一个人的血液都呈阳性。) 假设该疾病的发病率为p，且得病相互独立，问哪一种 方案能够减少平均每个人检验的次数。 解：按照方案①，每个人需要验血的次数都为1次； 而按照方案②，每个人需要验血的次数X的分布列为 补充说明： 例3 每张福利彩票售价5元，各有一个对奖号。每售 出100万张设一个开奖组，摇出一个6位数的中奖号码 （从000000到999999），对奖规则如下： ①对奖号与中奖号码最后一位相同者获6等奖，奖金10元； ②对奖号与中奖号码最后二位相同者获5等奖，奖金50元； ③对奖号与中奖号码最后三位相同者获4等奖， 奖金500元； ④对奖号与中奖号码最后四位相同者获3等奖， 奖金5000元； ⑤对奖号与中奖号码最后五位相同者获2等奖， 奖金50000元； ⑥对奖号与中奖号码全部相同者获1等奖，奖金500000元。 另外规定：只领取最高的奖金。求每张彩票的平均所得 奖金额。 解：记X为每张彩票的奖金额，则X的分布为 0.000001 0.000009 0.00009 0.0009 0.009 0.09 0.9 P 500000 50000 5000 500 50 10 0 X E(X)=3.2. 即平均每张彩票的平均所得奖金额为3.2元。 可以验证该函数符合密度函数的性质。 即 柯西分布的数学期望不存在！ 数学期望的性质 线性性质 例5 设随机变量X的分布为 解： 例6 某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种 原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300，500）上 的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5千元； 若积压1吨，则公司损失0.5千元。问公司应该组织多少 货源，可以使平均收益最大？ 解：设公司应该组织的货源为a吨，收益为Y， 则Y是X的函数。 例7 某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数 公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2万小时之内出现故障，则予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。 解决方法： 求随机变量函数的数学期望. 关键： * *