经典解对初值的连续性和可微性.ppt

证明 由 在区域 G 内连续，推知 f (x,y)在 G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即 下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数 在它的存在范围内关于 是连续的。 存在且连续。 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 设由初值 为足够小的正数）所确定的方程的解分别为 即 于是 其中 先证 存在且连续。 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 常微分方程-重庆科技学院-李可人 第三章 一阶微分方程解的 存在唯一性定理 Existence Uniqueness Theorem  of First-Order ODE * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 §3.3 解对初值的连续性和可微性 /Continuous and differentiable dependence of the solutions/  ? 解对初值的连续性 ? 解对初值的可微性 本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。 内容提要 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 3.3.1 解对初值的对称性定理 设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件， 是初值问题 的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 3.3.2解对初值的连续依赖性定理 假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件， 是初值问题 的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当 时，方程满足条件 的解 在区间 也有定义，并且 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足 利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式 其中 为所考虑区间内的某一值。 证明 设 在区间 均有定义，令 不妨设 因此，有 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 则 于是 因此，在区间 [a,b] 上 为减函数，有 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 对于区间 则 并且已知它有解 类似以上推导过程，令 注意到 因此 两边取平方根，得 §3.3 Continuity differentiability * * 常微分方程-重庆科技学院-李可人 解对初值的连续依赖性定理的证明 （一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域 因为，积分曲线段 是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径， 表示 f(x,y) 于 内的相应的