线性系统的可控性与可观测性【创意版】.ppt

* 例3-9：已知线性定常系统状态方程为 判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出 * 特征方程： 解得A的特征值为： 1）当 时，有 * 2）当 时，有 3）当 时，有 所以系统是完全可控的。 * 4．PBH特征向量判据 线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值λi，使同时满足 的特征向量 。 注：一般的说，PHB特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。 * 证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在一个向量α≠0，使式 成立，则有 由于α≠0 ，所以上式意味着S为行线性相关的，即rankSn，即系统为不完全可控。与已知条件相矛盾，因而反设不成立，必要性得证。 充分性：对充分性的证明也用反证法，可按与以上相反的思路来进行，具体推证过程略去。 * 5．约当规范型判据 1）对角规范型系统(无重特征值)可控性判别（※） 当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统 完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型 中， 不包含元素全为零的行。 * 例3-12：已知线性定常系统的对角线规范型为 判断系统的可控性。 解：由于此规范型中 不包含元素全为零的行，故系统完全可控。 * 2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别 当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统 完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型 中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。 * 例3-13：已知约当规范型系统如下： 试判断其可控性。 解： ， ，均行线性无关， 所以：系统完全可控。 * 例3-14：证明如下系统总是完全可控的。 证明： ，故完全可控。 该题说明：可控标准型系统完全可控。 * 二、输出可控性 1．输出可控性定义 若在有限时间间隔[t0, t1]内，存在无约束分段连续控制函数u(t)， ，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终输出y(t1) ，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。 * 2．输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态空间描述为： 则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵 的秩等于输出变量的维数q，即 注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然联系。 * 判断系统的状态可控性和输出可控性。 例3-15：已知系统的状态空间描述为 解：1）系统的状态可控性矩阵为 ，状态不完全可控 2）系统的输出可控性矩阵为 , 系统输出可控。 * 三 线性时变系统的能控性判据 1 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充要 条件是，存在一个有限时刻 ， 使如下定义的格拉姆矩阵 非奇异。 * 2 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充分 条件是，存在一个有限时刻 ， 使下式成立 * 3. 3 线性定常连续系统的可观测性判据(※) 一．线性定常连续系统的可观测性判据 1. 格拉姆矩阵判据 线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻t1＞0，使如下定义的格拉姆矩阵 为非奇异。 注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。 * 2. 秩判据（※） 线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是: 或 其中：n是系统的维数， 称为系统的可观测性判别阵，简称可观测性阵。 * 例3-16：判断下列系统的可观性： (1) 解：(1) 系统不完全可观测 (2) (2) 系统完全可观测 * * * * 第三章 线性系统的可控性与可观测性 本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则