空间向量与立体几何同步检测6.docxVIP

第三章 第三章 3.2 3.2.2 A A . all p B . a 丄［3 一、选择题 点 A(a,O,O), B(0, b,0), C(0,0, c),则平面 ABC 的一个法向 量为导学() A. (bc, ac, ab) B. (ac, ab, bc) C. (bc, ab, ac) D. (ab, ac, bc) ［答案］A ［解析］设法向量为n= (x, y, z),则AB n = 0, AC n = 0,则 —ax+ by= 0 i /-n = (bc, ac, ab).故选 A. —ax+ cz= 0 在正方体ABCD — AiBiCiDi中，若E为A。的中点，则直线 CE垂直于 导学( ) A. AC B. BD C. A1D D . A1A ［答案］B ［解析］直线CE在平面AC内的射影为AC, 又AC丄BD, ABD丄CE,故选B. 若平面a B的法向量分别为u= (— 2,3, — 5),v = (3, — 1,4), 则 导学号( ) C. a B相交但不垂直 D .以上均不正确 ［答案］C ［解析］TU = (- 2,3,— 5), v = (3,— 1,4), ???U与v不平行且u与v不垂直，故选C. 设平面a的法向量为(1,2，— 2)，平面B的法向量(一2，— 4, k),若 all B 则 k= 导学号( ) A . 2 B. — 4 C. 4 D. — 2 ［答案］C 1 2 — 2 TOC \o 1-5 \h \z ［解析］ Tal B 二 = =k , —2 — 4 K ?*= 4,故选 C. 已知向量m, n分别是直线I和平面a的方向向量和法向量， 1 r- 若cosm, n = — 2,则I与a所成的角为导学( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° ［答案］A ［解析］设I与a所成角为0, 1 Tcosm,n = — 2又直线与平面所成角 0满足0 ° 090 :「sin0 1 =I— 2〔，…0= 30 . 若直线I的方向向量为a = (—1,0,— 2)，平面a的法向量为 u= (4,0,8),贝y 导学号( ) A . l // a B. l丄a C. l? a D. l与a斜交 ［答案］B ［解析］TU=- -4a,「.u〃a,「.a 丄 a,「.I丄a故选B 二、填空题 已知I //a,且I的方向向量为(2, m,1),平面a的法向量为 (1 ) J, 2， 2 J,贝y m= . 导学［答案］—8 1 ［解析］设 a= (2, m,1), b= (1, 2，2). 1 T| //a, 丄b,「?2 + 2m+ 2 = 0,「.m=— 8. 已知平面 ABC,且 A(1,2,— 1), B(2,0,— 1), C(3,— 2,1), 则平面ABC的一个法向量为 .导学［答案］(2,1,0)(答案不唯一) ［解析］AB= (1 , — 2,0), AC = (2,— 4,2)，设平面 ABC 的法向 量为 n = (x, y, z),则 n AB= 0 x— 2y= 0 n AC= 0 2x— 4y+ 2z= 0 令 令x= 2,则一个法向量为（2,1,0）. 解得」1 解得」 1 y= 2x z= 0 三、解答题 如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—AiBiCiDi中的棱 CCi、BC、CD 的中点. 求证：AiP丄平面DMN.导学［证明］建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体棱长为 2,则 D(0,0,0), Ai(2,0,2), P(0,1,0), M(0,2,1), N(1,2,0). .?.向SAiP= (0,1,0)-(2,0,2)= (-2,1,- 2), DM = (0,2,1)-(0,0,0)= (0,2,1), DN = (1,2,0). .?.a1P DM = (— 2,1,- 2) (0,2,1) =(-2)X 0 + 1X2 + (— 2)X 1 = 0. A1p DN = (-2,1,-2) (1,2,0) =(-2)X 1 + 1X2 + (— 2)X 0= 0. ???A1P丄 DM , A1P丄 DN, 即 AiP丄DM , AiP丄 DN，又 DM A DN = D, ???AiP丄平面 DMN. 能力提程 一、选择题 1 .已知平面a, B的法向量分别为a= (— 1, y,4), b= (x,— 1, —2)且a丄B,贝卩x+ y的值为导学号( ) A . 4 B. — 4 C. 8 D. —