八年级数学暑假专题辅导 培优专题.docVIP

PAGE PAGE 15 （1）已知四边形ABCD，∠ ABC=30°∠ADC=60° AD=DC，求证BD =AB +BC 方法一：把△ABD绕D逆时针旋转60°,∵AD=DC?∴旋转后的△DCP≌△DAB,∠BDP=60°BD=BP,∴等边三角形BDP,BP=BD. 又∵∠ABD+∠CBD=30°?∴∠CBD+∠CPD=30°，∴BC⊥CP(是可以证的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP)?∴BCsup2;+CPsup2;=BPsup2; ∵CP=AB,BP=BD???如图1 方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等边三角形 ADC?∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等边三角形PBC? ∵AC=DC,∠ACP=∠DCB,PC=BC?∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD? 又∵RT△ABP∴ABsup2;+BPsup2;=APsup2;?∵BP=BC，AP=BD?如图2 如图所示，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2 如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由． ? 解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作旋转变换.得到以下证明方法:证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°∴△BCE是正三角形,又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°∴∠ACE=∠DCB又DC=AC,BC=CE所以△DCB≌△ACE所以AE=BD在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2即BD^2=AB^2＋BC^2 证明:过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方 解答: 分析从结论想办法.结论是BD=AB+BC,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造直角三角形, 使BD为斜边, AB、BC为直角边。 为此我们 过点B作BE垂直AB于B, 使BE=BC，点E、C在直线AB同旁，连结CE， 则三角形BCE为等边三角形。 连结AE、BD， 在三角形ACE和三角形BCD中， BC=CE， CD=AC，∠ACE=60度+∠ACB，∠BCD=60度+∠ACB，所以∠ACE=∠BCD 所以三角形BCD全等于三角形ACE，于是AE=BD ；在三角形ABE中，∠ABE=90度，所以， AE=AB+BE, BE=BC, AE=AB+BC 所以，BD=AB+BC 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE． （1）求证：BD=AE； （2）若AB=2，BC=3，求BD的长． ?(1)略；（2）BD=. 【解析】 试题分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE； （2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长． 试题解析： 证明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴DC=AC，