§162 二元函数的极限.doc

页 11 952783171.doc 第1 页 共 与一元函数极限类似地，幻灯从几何直观,片 1引入二元函二元函数的极限§16.2 数极限. : 全面极限与相对极限一. 二重极限复习一元函数极限：???A?limf(x):??),,?0,?有?0,?x?U(a??A)?f(x 幻灯A?y)limf(x,的定义全面极限1. 2 片),yz?f(x为设函数义域的定 定义1DA),D,P(xy是实常数；动点是的内点，???D)?x,yP(0?0???，，；如果，)?P,U(P成立有 存在极限，则称函在P xx?)y(z?fx,yyA?时的极为函数称当，A)y?limf(x, 限（全面极限），记为A)?limf(PAflim(x,y)? 或，或???? 分析法讲证明, 幻定义验证极” 3 lixx4x证明??????1y???2)(x2)?(x?2)y21y?1??y?x?(3?1y??x?2x?y2?y? ??,y1??1?)x?21,y?(x,((2,1),1)?U,(限制xy)??????54?1?x27?y?1?5???y14??y??? ?:?0,?要使7)?x(??xyy1y?52x?7??????1?7?x?2y? 11 页 2 页 共 952783171.doc 第 不等式与邻域部分(幻灯白)分层讲4 片 ??? 0,min1,???取??14????,1???2?时,yx当?)?方U,)(y)((2,1),?(x????????7?7y?)(x??xy有:14? 7)??xyy?故lim(x 分析法讲证明, 幻灯不等式与xy邻域部分(片 5 白)分层讲. ???0lim?. 定义验证极限“”例2.用y?x ? ?:0,证明:?要使xyxy)((0,0)0x有 2?xyxy0?故limyx? 灯幻6 片 1220)sin?(limxy?求证3例22y?x0x?0?y1220?yx()sin?证22y?x122sin?yx??22y?x?22yx????,??0,???22 ?)x?(,y圆) (((0,0),U)??0??(x0)?(y?)0时，当122???siny?(x)0原结论成立．22yx? 共 11 页952783171.doc 第 3 页 分析法讲证明 幻灯?yx? 7 片(0,0),xy, (x,y)?? 例4.设 ?),yf(xyx???(0,0).0 , (x,y)??0(x,y)?flim) 。证明(用极坐标变换(0,0)(x,y)?则?,?rcosx?:证明),令极坐标变换(??0,都有?r???.?rsiny??:?0,?要使yx?11xy?0(x,)?yf?rsin4??ryx?441????y??x4?,?只要 x2?y 不等式与邻域部分(幻灯白)分层讲. 片 8 ? ((0,0),)) (圆U?(x,y)??,??时r??yx当0??0,?取?不取什么都y 0?y)故limf(x, 分二层讲,幻灯无穷远点的极限. 片 9 相对极限及方向极.的定义域为数设函定2. ?(0是实常数；动的聚点???D?)P(x,y0???0?0,R,??，如；果，?????,y)Axf(D,PUP??()成立，，有：,?0??R,时当yx DfAP?P 上当时，以则称函数在为极限，APlimf()? 记为 Dy)?,P(x不致产生误解时，也可简记为：在对APflim()?A(fy,x)?。或 ，A?lim,y)xf(?????,(xy).无穷远点的情况 952783171.doc 第 4 页 共 11 页 灯幻 片10 A?P)limf(中，特别，在相对极限????为一条直线时，)x?k?(xx,y?y?yD)Pf(lim))?x(y?kx?limf(x , A?。称为方向极限 定理1幻灯及其推论的证明,与一元函数极限的海涅归 片全面极限与相对极限的关系3.结原理相似. 11 ?的每一个子集A对，D定理1.limf(P)?li. 的聚，只要就的聚点。若极推1lili. 也不存不存在，则极 灯幻 片12 .的聚点推lili若存在极，)(PflimA?A ，则极限不存在。但?)Pflim(内任一存在，对 D极限 推论3. PP?{ P })}P?PP({f 但数列，点列，收敛。 页共 11 第 5 页 952783171.doc 幻灯 片)f(Plim不存在，通常为了证明极限13 可证明沿某个方向的极限不存在，或证明沿某两个