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两个骰子朝上的面共有 36 种可能，点数之和分别可为 2~12 共 11 种。从图中可知， 7 是最容易出现的和数，它 出现的概率是 6 次，卡当曾 予言说押 7 最好 。 例 1 《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼 数学家卡当，据说曾大量地进行过赌博。他在赌 博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。 据 说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷 出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。 已知骰子的六个面上分别为 1~6 点，那么，赌注下 在多少点上最有利？ 第二章 初等模型 ( 上 ) § 2.1 概率问题 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 例 2 常胜的赌徒 赌场如战场，有胜亦有败。但 如果在自由下注的赌场，则有长胜的可能性。 某位不贪心的赌者依据下列决策赌博： （ 1 ）每次上赌场的目标是赢一块钱 . （ 2 ）一旦赢钱立刻停赌 （ 3 ） 他第 k 次的赌注为 2 1 1 2 2 2 2 1 k k k B ? ? ? ? ? ? ? L 总赌注为： 1 2 k ? 假如每次赢的概率为 p ，则输的概率为 q=1-p, 显然 连输 K 次的概率为 因此开 k 次至少有一次赢的概 率为 。不论“常胜的概率 p 0 有多大，只要 p 0 0 且 q 1, 只要 K 充分大 , 必有 ，即只 要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。 . k q 1 . k q ? 0 1 k q p ? ? 要做到长胜，那么赌徒到底至少要 准备多少资金呢？见如下模型： min . .1 2 1 K K Q S T q Q K N ? ? ? ? ? ? [ln(1 )/ ln ] 1 2 1 q ? ? ? ? ? MIN 不难解出： Q 例 3 可怜的琼斯夫人路过泡泡糖出售机时 , 尽量不使她的双胞胎儿子有所察觉 . 大儿子 : “妈妈 , 我要泡泡糖 . ” 二儿子 : “妈妈 , 我也要 , 我要和比利拿一样颜 色的 . ” 分币泡泡糖出售机几乎空了 , 里面只有 4 粒 白色的和 6 粒红色的泡泡糖 . 说不准下一粒是 什么颜色 . 琼斯夫人如果要得到两粒同种颜色 的泡泡糖 , 需要准备花多少钱 ? 是不是花 6 分钱 , 准可以得到 2 粒红色的糖 或者她花去 8 分钱准可得到 2 粒白色的糖 , 所以她需要花 8 分钱是吗 ? --- 如果你这样算 , 那就错了 , 因为琼斯夫人并不要求必须 得到两粒红色的糖或者两粒 白色的糖 , 她只要求两粒同 色的糖 , 即使先取到两粒不 同色的糖 , 第三粒必定与前 两粒中的一粒同色 . 所以她 最多只需要花 3 分钱 . 如果出售机内有 6 粒红色的 ,4 粒白色 的 ,5 粒蓝色的 . 琼斯夫人最多要花多少 钱 ? 显然只要花 4 分钱即可 . 如果琼斯夫人的孩子是三 胞胎 , 那该怎样呢 ? 最坏的情况是她拿到了 2 粒 红的 ,2 粒白的和 2 粒兰的 , 第 七粒肯定与前六粒中的两 粒同色 , 所以她最多需要花 7 分钱 . 问题的推广 假如琼斯夫人是幼儿园的老师 , 她带 着 k 个孩子路过泡泡糖出售机 , 出售机 中有 n 组不同色的泡泡糖 , 且每组糖至 少有 k 粒 , 她需要花多少钱呢 ? 最坏情况是她每种颜色的 泡泡糖都买了 k-1 粒 , 那么 再买一粒即可 , 所以她最多 需要花 n(k-1)+1 分钱 . 让我们假设有 m 组不同色的泡泡糖 少于 k 粒 , 并且设其中第 i 组糖有 a i 粒 , 那么情况怎样 ? 所以她最多需要花 : (n-m)(k- 1)+1+∑a i 琼斯夫人最倒霉的事情是 , 她把所 有少于 k 粒的同色糖都买了 , 并且其他 种类的糖每种都买了 k-1 粒 , 最后再买 一粒才能得到 k 粒同色的糖 . 这种类型的题目 例 4 这种类型的题目很多 , 又比如从 52 张纸牌中抽出 7 张同花的牌 , 那么 最多需要抽多少张牌呢 ? 显然需要 4(7-1)+1=25 张 . 例 5 在某个医院 , 四个婴儿的身份标签被搞 错了 . 两个婴儿的标签不错 , 其他两个婴 儿的标签弄错了 . 发生这种错误的情况有 多少种 ? 一种简单的计算方法是把所有可能的情况 列成一个表格 , 其结果表明两个婴儿搞错的 情况共有六种 . 现在假设标签搞乱了后 , 恰有三个是正确的 , 只有一个搞错了 , 问这个问题有多少种不同 情况 ? 但是你如果用 鸽笼 原理 思索一下 , 情况 就一清二楚了 . 这个问题许多人都茫然不解 , 其原因是他们 作了