概率论习题解答第1到6章.pdf

习习习题题题 1.1 将下列事件用事件A, B, C表示: (1) 只有事件A 发生; (2) 3个事件中至少有2个发生; (3) 3个事件中恰有2个事件发 生; (4) 3个事件中不多于1个事件发生. 解：(1) AB C ; (2)ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC = AB ∪ AC ∪ BC ; (3)ABC ∪ ABC ∪ ABC ; (4)A B C ∪ AB C ∪ ABC ∪ A BC = A B ∪ B C ∪ A C . 1 1.2 已知P (A) = , 2 (1)若A, B互不相容, 求P (AB), 1 (2)若P (AB) = , 求P (AB). 8 1 解：(1)P (AB) = P (A) − P (AB) = P (A) = . 2 1 1 3 (2)P (AB) = P (A) − P (AB) = − = . 2 8 8 1.3 抛一枚质地均匀的硬币 5 次,求即出现正面又出现反面的概率. 解：设A ={即出现正面又出现反面},则 P (A) = C (1) + C (1) + C (1) + C (1) = 15 . 2 2 2 2 16 1.4 设A, B是两个事件, (1) 已知A B = A B , 验证A = B . (2) 验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P (A) + P (B) − 2P (AB). 解：(1) 因为A B = A B 所以A B ∪ AB = A B ∪ AB ,即A = B . (2) “事件A和事件B恰有一个发生”可以用事件AB ∪ AB来表示。而 P (AB ∪ AB) 1 = P (AB) + P (AB) = P (A) − P (AB) + P (B) − P (AB) = P (A) + P (B) − 2P (AB). 1.5 试分析互不相容事件是对立事件吗?如果是,请给出理由;如果不是,请举例说明. 解：互不相容事件未必是对立事件。例如：抛掷一枚均匀的骰子，设事件A ={掷 出的点数恰好是奇数}，B ={掷出的点数恰好是2},则事件A与B互不相容，但A与B不 是对立事件。 1.6 试举例说明概率为零的事件未必是不可能事件; 概率为1的事件未必是必然事 件. 解：在单位园内等可能的掷点，假设点落在任意子区域内的概率仅与该区域的面 积成正比，而与它的位置和形状无关，设A = {点恰好落在圆心}，则事件A不是不可 能事件，但概率为0 ；而Ω − A不是必然事件，但概率为1. 1 1 1.7 已知P (A) = P (B) = P (C) = , P (AB) = 0,P (AC ) = P (BC ) = . 4 16 求(1)A, B, C 中至少有一个发生的概率; (2) A, B, C 都不发生的概率. 解：(1) “A, B, C 中至少有一个发生”表示为A ∪ B ∪ C, 因为ABC ⊆ AB ,由概率 的不等式0 ≤ P (ABC ) ≤ P (AB) = 0得：P (ABC ) = 0. P (A ∪ B ∪ C) = P (A