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* * * * * * * * * * * * * * A 24 2 解:根据切线长定理得AE=AF,BF=BD,CE=CD.设AE=AF= x cm,则CE=CD=(26-x) cm,BF=BD=(18-x) cm.∵BC=28 cm,∴(18-x)+(26-x)=28,解得x=8,∴AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm B C A 50° 4 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 探究: 经过平面上的已知点作已知圆的切线,会有怎样的情形呢? A P O 如图,线段PA,PB的长就是点P到⊙O的切线长. 1、切线长的概念. 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. O A P O B P 切线和切线长是两个不同的概念: 1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量; 2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量。 O P A B 比一比 已知⊙o及⊙o外的一点P,PA与⊙o相切于A点,连接OA、OP,如果将⊙o沿直线OP翻折,存在一点与A点重合吗? 根据圆的轴对称性,存在与A点重合的一点B,且落在圆,连接OB,则它也是⊙o的一条半径。 O P A B 你能发现OA与PA,OB与PB之间的关系吗? PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。 ∟ ∟ 请证明你所发现的结论。 A P O B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 证一证 2.切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. P B A O ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B. PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴ 切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 。 P B A O (3)连结圆心和圆外一点 (2)连结两切点 (1)分别连结圆心和切点 反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。 想一想 如图:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点。 。 A O C P B 思考:由切线长定理可以得出哪些结论? (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3)写出图中所有的等腰三角形. A P O 。 B M 若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB A P O 。 B 若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC C 例1.PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。 B A P O C E D (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (3)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB (5)若PA=4、PD=2,求半径OA (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 4 2 。 P B A O (3)连结圆心和圆外一点 (2)连结两切点 (1)分别连结圆心和切点 反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。 例2.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B, 并与圆O的切线分别相交于C、D,已知 PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=50°,求∠COD的度数 C · O P B D A E 2、已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,A和B是切点,BC是直径.求证:AC∥OP. C B A P O 2、已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O
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