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第二章 控制系统的数学模型数学模型[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。控制系统微分方程的列写 用解析法建立控制系统的数学模型时，应根据系统及元部件的特点和连接关系，按照它们遵循的物理定律，列写出各物理量之间的数学关系式。 建立系统的微分方程的一般步骤如下：确定系统和各元部件的输入量和输出量；对系统中每一个元部件列写出与其输入、输出量有关的物理的、化学的方程；对上述方程进行适当的简化。比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等；从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。设线性定常系统的微分方程一般式为： 上式对应的传递函数为：传递函数的概念 线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 零初始条件是指当时，系统输入量、输出量以及它们的各阶导数均为零。 传递函数的性质 传递函数只与系统自身的结构参数有关，与系统的输入、输出形式无关。 传递函数是复变量S的有理分式函数，对于大多数物理系统（环节或元件），其分子多项式的次数m不高于分母多项式的次数n，且所有系数都为实数。 传递函数与系统的微分方程相联系，两者可以互相转换。 传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 传递函数与S平面上一定的零极点图相对应。传递函数的局限性 传递函数的概念多用于单输入、单输出线性定常系统。 传递函数原则上只反映零初始条件下的动态特性。 比例环节： ； 积分环节： ； 惯性环节： ； 振荡环节： 微分环节： ； 一阶微分环节： ； 二阶微分环节： ； 延迟环节： 。典型环节的传递函数 线性控制系统都是由上述几种典型环节组合而成的。传递函数的求法有以下方法可求取传递函数： 由系统的微分方程求取传递函数。 由脉冲响应函数求传递函数。 由系统的结构图或信号流图求取传递函数。 由开环频率特性求传递函数。 由状态空间表达式求。结构图 结构图是系统中各个环节的传递函数和信号流向的图形表示。组成：由信号线、环节传递函数方框、引出点（分支点）和比较点（相加点）组成。特点： 具有概括性和抽象性，不表示某具体系统的物理结构。比如一个结构图可以表示一个机械系统也可以表示一个电路系统。 同一系统的结构图形式不唯一，但在输入、输出信号点确定后，对应的传递函数是唯一的。式中： ——前向通道传递函数； ——开环传递函数； ——反馈通道传递函数。结构图的基本连接方式 串联：串联环节的总传递函数为并联：并联环节的总传递函数为反馈连接 ：其闭环传函为：结构图的等效变换 变换方法：分支点前移和后移；相加点的前移和后移； 串联，并联和反馈连接。变换原则：分支点或相加点移动前后必须保持信号的等效性。即在结构图变换的过程中，被变换部分的输入、输出应保持不变，这样才能确保变换前后结构图的等效性。注意： 分支点和相加点之间一般不宜互相变换位置。 相邻的分支点或相加点可以任意变换位置，而不改变其等效性。 “－”号可以在信号线上越过方框移动，但不能越过相加点和分支点 。梅逊公式：信号流图和梅逊公式信号流图的绘制方法：①根据结构图； ②列出环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制。 ③根据状态空间表达式。式中： —从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）； —从源节点到阱节点的前向通路总数； —从源节点到阱节点的第 条前向通路传递函数； —流图特征式。式中： 为所有单独回路增益之和； 为在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的增益乘积之和； 为在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和。 —流图余因子式。它等于流图特征式 中除去与第 条前向通道相接触的回路增益项以后的剩余部分。即与第 条前向通路不接触部分的 值。梅逊公式(续) 注意：梅逊公式只能用于输入节点和输出节点之间，而不适用任意两个混合节点之间。故：任何输入x(t)下的输出y(t)为：或式中