1819线性代数§1.41819线性代数§1.4.pptVIP

* §1.4 行列式的性质 一、行列式的性质 记 证明: 记行列式 D=det(aij) 的转置行列式为: 性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 行列式D的转置行列式 即 bij=aji ( i, j=1, 2, ···, n), 按定义 又由行列式的另一种表示得, 所以 DT = D, 结论成立. 说明: 行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 行列式有两行(列)完全相同, 则行列式为零. 证明: 互换相同的两行, 则有D = – D, 所以D = 0. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k , 等于用数 k 乘此行列式. 即 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 例如 证明: 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 例如 则D等于下列两个行列式之和: 证明: 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 引入记号: ri -----第 i 行, cj -----第 j 列. ri + k rj (ci + k cj )----第 j 行(列)乘以k加到第 i 行(列). ri ? k ( ci ? k )------第 i 行(列)乘以数k; ri ? rj ( ci ? cj )------交换第 i, j 两行(列); 二、行列式计算 常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而较容易的计算行列式的值． 性质2 性质3 性质6 例1 计算行列式 解: D r2 + 3r1 r3 – 2r1 0 2 0 4 ?1 0 ? 2 1 ?5 3 0 0 2 2 ?2 r4 – 3r1 r5 – 4r1 r2 ? r3 r4 + r2 0 0 1 ? 1 2 0 ? 1 0 0 2 ? 6 r5 + 2r3 r4 + r3 0 ? 6 r5 + 2r4 解: 将第2, 3, ··· , n 列都加到第一列得: 例2 计算 n 阶行列式 0 a-b 0 … 0 0 0 a-b … 0 0 0 0 … a-b (第2, 3, ··· , n 行 都减去第一行) 同类：书 (6版) P23 8(2,5) 例3 证明 = D1D2. 证明: D1 D2 先对D的前k行作行运算 ri+trj , 然后对D的后n列作列运算 ci+kcj , 把D化为下三角形行列式: 故, D = p11··· pkk q11··· qnn = D1D2. D1 D2 解: 将第 2n行依次与第2n-1行，…，第2行对换: 例4 计算2n 阶行列式 0 c d 0 0 a b 0 0 c d 0 0 a b 0 c 0 0 d 0 0 0 0 a 0 0 b 0 c d 0 0 a b 0 c 0 0 d a 0 0 b b d 0 a c 0 b d 0 a c 0 同类：书 (6版) P23 8(4) (5版) P27 8(4) 例5 计算行列式 D= 同类：书 (6版) P23 8(7) 解: *