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第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律
§5.2 中心极限定理
公共邮箱:gailvlun20141@163.com
密码:dajiahao
§5.1 大数定律
性质:设
则称随机变量序列Y1, Y2 …,Yn ,...依概率收敛于a ,
记为:
若对任意正数,有
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列,a是常数,
, g(x,y)在点(a,b)连续,
则
定理1(辛钦大数定理)设随机变量序列X1,X2,…,Xn,...相互独立且同分布,数学期望:E(Xk)=,则对任意正数,有
(证明略)
定理2 (贝努力大数定律)设nA是n 次独立重复试验中A发生的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意0,有
证:
其中Xk相互独立,且都服从以参数为p的(0-1)分布
因而 E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p), (k=1,2,...),由定理1,
因为
有
即
贝努力大数定律就是频率稳定性的理论依据.
因而在实际应用中,当试验次数很大时,往往
用事件发生的频率来代替事件的概率.
此定理表明, 事件A发生的频率 依概率收敛于事件的概率 p . 这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.
定理3 (切比雪夫定理的特殊情况)设随机变量序列 X1,X2,…,Xn,...相互独立,且具有相同的数学期望和方差:
E(Xk)=,D(Xk)=2 (k=1,2,...) ,
则
即 对任意的0,有
证
由切比雪夫不等式
即
在客观实际中有许多随机变量,它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的,而其中每一个因素在总的影响中起到的作用都是微小的.这种随机变量往往近似的服从正态分布.这种现象就是中心极限定理的客观背景.
本节只介绍三个常用的中心极限定理.
§5.2 中心极限定理
独立同分布的中心极限定理
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
此定理表明,当n充分大时,Zn的分布近似于标准正态分布.
(证明略)
证 由§4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分
布的随机变量X1,...,Xn之和,即
定理3 (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量n(n=1,2,…)服从参数为n,p(0 p 1)的二项分布,则对任意x,恒有
此定理表明,正态分布是二项分布的极限分布,所以当n充分大时,我们可以用标准正态分布近似二项分布.
由定理1知,
例1 某车间有200台车床独立工作,设每台车床的开工率为0.6,
开工时耗电1千瓦,问供电所至少要供多少电才能以不小于
99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
至少供电142千瓦,才能保证以不小于99.9%的概率正常工作.
由定理3,有
解 记X为200台车床中工作着的车床台数,则X~b(200, 0.6).
按题意,要求最小的 k ,使P{X k} 0.999
即
例2 在人寿保险公司里,有3000个同一年龄的人参加保险.设在
一年内这些人的死亡率为0.1%, 参加保险的人在一年的头一天
交付保险费10元,死亡时,家属可从保险公司领取2000元.
求 (1)保险公司一年中获利不小于10000元的概率;
(2)保险公司亏本的概率是多少?
解 设一年中死亡人数为X,X=0,1,…,3000, 死亡率=0.001, 则
而由拉普拉斯定理,有
(1) P{保险公司获利不小于10000元} =P{30000-2000X10000}
=P{0X10},
即一年中保险公司获利10000元以上的概率为96%.
X~b(3000, 0.001).而保险公司每年获利=300010-2000X (元)
由此可见保险公司亏本的概率是很小的.
(2) P{保险公司亏本}=P{2000X30000}=P{X15}
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