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2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题 (1)【答案】1 【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。 记，则 所以 . (2)【答案】 【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便可得出。 由，有 所以 以代入，得. (3) 【答案】 【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法： 方法1： 由微分形式不变性，有 方法2： 求偏导数， . 以，代入便得如上结果. (4)【答案】 【详解】由已知条件变形得，, 两边取行列式, 得 其中，， 因此，. (5)【答案】 【详解】根据独立性原理：若事件独立，则 事件，而随机变量与均服从区间上的均匀分布，有和. 又随机变量与相互独立，所以， (6)【答案】 【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量，故只要计算即可. 概率密度函数是偶函数，则为奇函数，所以 所以 二、选择题 (7)【答案】 【详解】 方法1： 图示法. O x0 x0+Δx xyy=f(x) O x0 x0+Δx x y y=f(x) Δy dy 结合图形分析，就可以明显得出结论：. 方法2：用两次拉格朗日中值定理 (前两项用拉氏定理) (再用一次拉氏定理) , 其中 由于，从而. 又由于，故选 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式： ， 其中. 此时取1代入，可得 又由，选 . (8) 【答案】 【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下： 换元令，由题设可得 . 于是 因为函数在点处连续，故，进而有 . 这表明且存在. 故应选 . (9) 【答案】 【详解】 方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛 因为收敛，所以也收敛，所以收敛，从而也收敛.选D. 方法2：记 ，则收敛. 但，(级数，级数发散)； (级数，级数发散)均发散。由排除法可知，应选D. (10) 【答案】 【详解】线性方程解的性质与结构：1. 由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解；2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解. 因为，所以是齐次微分方程的一个非零解，是任意常数，所以是对应的齐次微分方程的通解. 再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，[]. (11) 【答案】 【详解】 方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。 已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，。 是在条件下的一个极值点是 的极值点。它的必要条件是 若，则，或，因此不选，. 若，则(否则). 因此选 方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数，有 因为，所以，代入(1)得 若，则，选 (12)【答案】A 【详解】 方法1：若线性相关, 则由线性相关定义存在不全为的数使得 为了得到的形式，用左乘等式两边, 得 = 1 \* GB3 ① 于是存在不全为的数使得 = 1 \* GB3 ①成立，所以线性相关. 方法：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是: 1. 线性相关?；2. . 矩阵, 设， 则由得. 所以答案应该为(). (13) 【答案】 【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出 将的第2行加到第1行得，即 将的第1列的-1倍加到第2列得，即 因为，故. 从而 ,故选(). (14) 【答案】A. 【详解】由于与的分布不同，不能直接判断和的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。 随机变量标准化，有，且其概率密度函数是偶函数. 所以 . 同理有， 因为是单调递增函数，当时， ，即，所以，故选(A). 三、解答题 (15)【详解】题目考察二元函数的极限，求时，可以将视为常数 (I) , 由于，所以 所以. (II) (16)【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下： 积分区域如下图所示. ， 故 . (17)【详解】令，只需证明单调增加(严格) 单调减少(严格)， 又，故时，则单调增加(严格) 得证 (18)【详解】(I) 设所求的曲线方程为，按题意