ch12-1常数项级数的概念与性质.pptVIP

第一节 常数项级数的概念和性质 第二节 常数项级数审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第七节 傅里叶级数 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 第十二章 无穷级数 无穷级数是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。 第十二章 无穷级数 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 第一节 第十二章 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 §12.1 常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积. ? ? ? 这个和逼近于圆的面积 A . 引例2. 弹性小球自高为1米处自由落下, 每次弹起的 高度减少一半, 问小球是否会停止跳动? 由自由落体运动方程 知 则小球运动的时间为 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 1m 弹性小球的跳动次数是无穷的,它是否会停止跳动,关键在于小球完成无穷次跳动所用的时间是否有限的. 1.常数项无穷级数的概念 其中第 项 叫做级数的一般项。 一般地，如果给定一个数列 则由这数列构成的表达式 叫做（常数项）无穷级数，记为 即 2.(常数项)无穷级数的部分和 令 这样所得到的数列 叫做级数的部分和数列, 叫做级 数的部分和 3.级数收敛的概念 当级数收敛时，称 为级数的余项，这时 为近似值产生的误差 叫做这级数的和；如果 没有极限，则称无穷级数 定义 如果级数 的部分和数列 有极限 , 即 则称无穷级数 收敛，这时极限 发散。 例1 等比级数（几何级数） 其中q 叫做级数的公比。试讨论此级数的收敛性。 例2 证明级数 是发散的。 结论: 当|q|1 时收敛; |q|=1时发散. 例3.判别下列级数的敛散性: 例4. 判别级数 的敛散性. 例1 等比级数（几何级数） 其中q 叫做级数的公比。试讨论此级数的收敛性。 解: 部分和 故级数收敛， 其和为 级数发散. 例3.判别下列级数的敛散性: 解: 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: “拆项相消” (1) (2) ?(2) 收敛, 其和为 1 . 例4. 判别级数 的敛散性 . 解: 故原级数收敛, 其和为 二、收敛级数的基本性质 性质1 若级数 收敛于s，则级数 也收敛， 且其和为 ks. 性质2 如果级数 、 分别收敛于 s、t, 则级数 也收敛，且其和为 . 结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数其敛散性不变. 即：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 , 不会改变 级数的收敛性. 推论 若 收敛， 发散，则 发散. 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 事实上，对级数 任意加括号 若记 则加括号后级数成为 记 的部分和为 的部分和记为 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 则 由数列和子数列的关系知 必定存在 且 存在， 证明 如果级数 收敛，则它的一般项趋于零，即 性质5（级数收敛的必要条件） 注 1）级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 2）若 ，则级数 发散。 3）若 ，则级数 不一定收敛。 例5 调和级数： 是发散的. 若级数收敛，设其和为s , 则 而 矛盾，故原级数发散. 注意 其一般项 证：