2020中考数学复习 最值问题 将军饮马问题 51张.ppt

03 、 几何图形中的将军饮马 ---- 菱形和矩形中的“将军饮马” 【面积与折点】 如图，在矩形 ABCD 中， AB=6 ， AD=3 ，动点 P 满足△ APB 的面积是矩形 ABCD 面积的三分之一，则点 P 到 A 、 B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 _________ ． 03 、 几何图形中的将军饮马 ---- 菱形和矩形中的“将军饮马” 【分析】 由△ APB 面积是矩形面积三分之一，可作 出 P 点轨迹为直线 MN （ AM=BN=2 ），作点 B 关 于 MN 的对称点 B ，化折线 PA+PB 为 PA+PB ． 当 A 、 P 、 B 共线时，取到最小值． 03 、 几何图形中的将军饮马 ---- 菱形和矩形中的“将军饮马” 【全等与对称】 如图，矩形 ABCD 中， AB=10 ， BC=5 ，点 E 、 F 、 G 、 H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE=CG ， BF=DH ，则四边形 EFGH 周长的最小值为 ________ ． 03 、 几何图形中的将军饮马 ---- 菱形和矩形中的“将军饮马” 【分析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EH+EF 最小值，此处 E 为折点，作 F 关 于 AB 对称点 F ，则 BF=BF=DH=CM ，∴ MF=BC=5 ， MH=DC=10 ，∴ HF 为 5 倍根 号 5 ，周长最小值为 10 5 ． 04 、特殊角的对称 ----60 °角的对称 如图，∠ AOB=60 °，点 P 是∠ AOB 内的定点且 OP 为根号 3 ，若点 M 、 N 分别是射线 OA 、 OB 上异于 点 O 的动点，则△ PMN 周长的最小值是 _________ ． 04 、特殊角的对称 ----60 °角的对称 【分析】 此处 M 、 N 均为折点，分别作点 P 关于 OB 、 OA 的对 称点 P 、 P ，化△ PMN 周长为 PN+NM+MP ． 当 P ‘、 N 、 M 、 P ‘共线时，得最小值，利用 60 °角翻倍得∠P OP ‘ =120 °， OP =OP =OP ，可得最小值。 04 、特殊角的对称 ----30 °角的对称 如图，∠ AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N （ 3,0 ）是 OB 上的 一定点，点 M 是 ON 的中点，∠ AOB=30 °， 要使 PM+PN 最小，则点 P 的坐标为 _________ ． 04 、特殊角的对称 ----30 °角的对称 【分析】此处点 P 为折点，作点 M 关于 OA 的对称对称点 M 如图所示，连接 PM ，化 PM+PN 为 PM+PN ． 当 M 、 P 、 N 共线时，得最小值，又 ∠ MON=60 °且 ON=2OM ，可得 ∠ OMN=90 °，故 P 点坐标可求． 最值问题之“将军饮马” “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李 颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常 有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 01 、什么是“将军饮马” ？ 【问题描述】 如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军 营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 01 、什么是“将军饮马” ？ ? 【问题简化】 ? 如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？ ? 【问题分析】 这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关 于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最 短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． ? 【问题解决】 ? 作点 A 关于直线的对称点 A ，连接 PA ， 则 PA=PA ，所以 PA+PB=PA+PB 01 、什么是“将军饮马” ？ 当 A 、 P 、 B 三点共线的时候， PA+PB=AB ，此时为最小值 （两点之间线段最短） 01 、什么是“将军饮马” ？ ? 作端点（点 A 或点 B ）关于折点 （上图 P 点）所在直线的对称， 化折线段为直线段。 正所谓： 君若寻求路径短，选好直线定动点。 折曲变直线段短，点与直线垂线段。 若与曲折变直难，平移定长或平展。 实际问题转数学，牢记原理是关键。 将军饮马模型 ? 1 、 “一定两动”之点到点 ? 2 、“两定两动”之点到点 ? 3 、“一定两动”之点到线 ? 1 、 正方形中的将军饮马 ? 2 、三角形中的将军饮马 ? 3 、菱形和矩形中的将军饮马 ? 4 、 60 °、 30 °、 20 °角中的将军饮马 1 、将军过桥 2 、将军遛马 ? 在 OA 、 OB 上分别取点 M 、 N ，使得△ PMN 周长最小。 ? 此处 M 、 N 均为折点，