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8.3极坐标系下的二重积分 P(r,?) r=r(?) 有些二重积分用直角坐标计算比较繁琐，甚至无法计算，如例6。 [注记]： ⑴对于一个二重积分，当： ①积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较 容易； ②被积函数用极坐标变量r、?来表达比较简单 这时，用极坐标计算会带来方便。 ⑵因为直角坐标与极坐标之间有关系： 所以极坐标系下二重积分的表达式为 * · · o o r r ) ? r · P r ? ) r=r(?) y x 如: r=a r=2cos? r=2sin? · x2+y2=1 x2+y2=4 x y D1 D ●在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次 积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分 限的问题。但积分次序多以先对r后对?的次序， 而确定积分限可分为三种情形： 于是得到在极坐标下 二重积分化为二次积分的公式： 1 若积分区域D： 或写作 2若极点在D的内部 则D可以用不等式表示: 这时有 若D由两条封闭曲线围成（如图），则 3若极点O在D的边界上，且D由射线?=?、 ?=? 和连续曲线r=r(?)围成。即 这时 例如 · o r r=r(?) r o ? ? r=r(?) ? ? 例： 直角坐标 极坐标 解 利用 把积分区域的边界曲 线化为极坐标形式： 解 于是 例3 计算 ，其中D是以 解 D可以表示成 原点为圆心，半径为a的圆域. *
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