第一章期望效用函数理论.doc

资本资产定价的原理 与模型 ECJTU xu long 第一章 期望效用函数理论 1.1 序数效用函数 1.1.1 偏好关系 n 设B是n维欧氏空间R 中的凸集，在B中引入 一个二元关系记为“ ”，如果它具有 ≥ （1）反身性：若x B，则x x； ∈ ≥ （2）可比较性：若x，y B，则x y或y x； ∈ ≥ ≥ （3）传递性：若x，y，z B，则x y，y z，则x z。 ∈ ≥ ≥ ≥ ECJTU xu long 1.1.2字典序 { } ( ) [ ) [ ) = ∈ ∞ ∈ ∞ 设在凸集B x, y x 0, , y 0, 中， 2 ( ) ( ) 若 x , y B ，x , y B ，如果x x 或x x ， ∈ ∈ = 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) y ≥y ，则定义 x , y x , y 。 ≥ 1 2 1 1 2 2 1.1.3效用函数 设B是具有偏好关系“ ”的选择集，U：B R ≥ → + ( ) ( ) 的单值函数，如果x, y B，U x ≥U y 当且仅当x y， 则称U为效用函数。 ECJTU xu long 1.1.4偏好关系的三条重要性质 性质1（序保持性） ∈ α β ∈ [ ] ( ) ( ) ?α + ?α ? ?β + ? β ? α β x 1 y x 1 y 当且仅当 ? ? ? ? 性质2（中值性） 对任意x, y, z B, x y z,那么存在唯一 ∈ ( ) ( ) 的 0,1 使 x 1 z y α ∈ α + ?α ～ 性质3（有界性） 存在 , ,使对任意 ，有 x? y? ∈ B z ∈ B x? ≤ z ≤ y? ECJTU xu long 1.1.5序数效用函数存在定理 定理1.1 设选择集B上的偏好关系“ ”具有 ≥ 1.1.4节中的性质1 性质3，则存在效用函数 ～ U：B R 使得 → + ( ) ( ) （1）x y当且仅当U x U y ； ( ) ( ) （2）x y当且仅当U x U y 。 ～ = ECJTU xu long 1.2期望效用函数 1.2.1彩票及其运算 假定随机变量X有n个结果x , x x ,其概率 1 2 n p ≥0， ( ) i 分布用向量表示为P p , p , , p = 1 2 n n ∑ p 是第i个结果x出现的概率，其中 p 1。 = i i i i 1 = ( ) 称P p , p , , p 为彩票。 = 1 2 n ECJTU xu long ( ) 设B是所有彩票构成的集合，P p , p , , p B， = ∈ 1 2 n ( ) [ ] Q = q q q ∈ B α ∈ , , , ， 0,1 ，定义 1 2 n α ⊕ ?α = α + ?α ，α + ?α ，…，α + ?α P 1 Q p 1 q p 1 q p 1 q ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) 1 1 2 2 n n 按定义可证明： [ ] ( ) （1）设P，Q B， 0,1 ，则 P 1 Q B； ∈ α ∈ α ⊕ ?α ∈ [ ] ( ) （2）设P，Q B， 0,1 ，则 P 1 P P, P 0P P； ∈ α ∈ α ⊕ ?α = ⊕ = [ ] ( ) ( ) （3）设P，Q B， 0,1 ，则 P 1 Q 1 Q P； ∈ α ∈ α ⊕ ?α = ?α ⊕α [ ] （4）设P，Q B， , , 0,1 ， ∈ α α α ∈ 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 则 P 1 Q 1 P 1 Q α ?α ⊕ ?α ? ⊕ ?α ?α ⊕ ?α ? ? ? ? ? 1 3 3 1 2 2 ( ) ( ( ) ) ? ? = ?? + ? ?? ⊕ ? ? ? ? α α α α α α α α 1 P 1 1 ? 1 3 1 2 1 3 1 2 ECJTU xu long Q 1.2.2彩票集合上的偏好关系 设B中元素定义满足如下条件的偏好关系 具有 ≥ （1）返身性：任意P B，有P P； ∈ ≥ （2）可比较性：任意P,Q B，则P Q或Q P； ∈ ≥ ≥ （3）传递性：任意P, P , P B， ∈ 1 2 3 如果P P，P P，则P P； ≥ ≥ ≥ 1 2 2 3 1 3 [ ] 性质1：对任意P,Q B，设P Q, , 0,1 ，则 ∈ α β ∈ ( ) ( ) ?α ⊕ α ? ?β ⊕ β ? α β P 1－ Q P 1－ Q 的充要条件 ? ? ? ? 性质2：对任意P, P , P B，P P P ,则存在唯一 ∈ 1 2 3 1 2 3 [ ] ～ ( ) α α α ∈ ?? ⊕ ?? 0,1 ，使P P