第一章理论基础加权余量法和变分原理.doc

同济大学土木工程学院研究生课程 《有限单元法》 第一章 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 1、微分方程的近似解法 2、加权余量法 3、变分原理与里兹法 4、弹性力学基本方程 5、弹性力学变分原理 授课教师：吴明儿教授 2015年春 1、微分方程的近似解法 将连续体进行离散化，将微分方程离散成有限个未知数的代数方程组 进行近似求解。典型的离散方法有里兹法、加权余量法、差分法等。 数值解 加权余量法 变分法 差分法 配点法 里兹法 数值积分法 Monte Carlo法 最小二乘法 力矩法 伽辽金法 变分法：存在泛函，取泛函数驻值，里兹法。固体力学领域 加权余量法：系统不需要存在泛函数。其他领域 ? 2、加权余量法 考虑某一维问题 近似解 ? = ?β ? ?β β=1 ?β: 试探函数 已知函数 ；?β: 待定参数 未知系数 选取：?β 0 = 0 β = 1,2, … , ? 满足边界条件1 微分方程 ?2? ? ? = 0 (0 ≤ ? ≤ 1) ??2 边界条件 ? = 0 ? = 0 边界条件1 ?? = 1 ? = 1 边界条件2 ?? 理论解 ? = (?? ? ???) ( ? + ??1) 加权余量法 1 ?2? ? ? ? 1 = 0 (? = 1,2, … , ?) ??Ω ? ? ?? + ??Γ ??2 ?? 0 ?=1 ??Ω及??Γ为任意的加权函数。加权函数的选取办法有配点法、子 域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法等，以伽辽金法最为常用。 伽辽金法：??Γ = ? ??Ω = ??? 分部积分、考虑?? 0 = 0 ： 1 ? ? ? ? ?? 1 ? ?? ?? + ? ? 1 = 0 ? ??? ?? + ? ?? ?? ?? ?? ?? 0 0 ?=1 1 ??? ?? + ??? ?? = ?? 1 ?? ?? 0 若边界条件2右边为零，则?? 1 =0，上式不需要对边界进行处理。 根据这种性质，边界条件2称为自然边界条件，边界条件1称为强 制边界条件。 2、加权余量法 考虑某一维问题 微分方程 ?2? ? ? = 0 (0 ≤ ? ≤ 1) ??2 边界条件 ? = 0 ? = 0 边界条件1 ?? = 1 ? = 1 边界条件2 ?? 理论解 ? = (?? ? ???) ( ? + ??1) ? ? 1 ? ?? 将? = ?β=1 ?β ? ?β 代入 ?? + ??? ?? = ? ? 1 得 ? 1 得 0 ?? ????? = ?? 上式称为刚度方程，???为对称矩阵。 ? ? 1 ??? ??? = 0 ?? + ??? ?? ; ? ? = ?? 1 。 ?? 求解该线性方程组即可得待定参数?β。 设满足边界条件1的试探函数为 ?? ? = ?? ? = 1,2, … , ? 取M=3，计算得刚度矩阵方程 4 5 6 ?1 ?1 1 0.6505 3 4 5 5 23 5 4 15 3 ?2 = 1 ?2 = ?0.01288 ?3 ?3 1 0.1240 6 5 68 5 3 35 伽辽金法得到的近似解 ? = 0.6506? ? 0.01288?2 + 0.1240?3 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Galerkin 0 0.13058 0.26607 0.41244 0.57563 0.76159 理论解 0 0.13048 0.26619 0.41259 0.57554 0.76159 3、变分原理与里兹法 变分原理： 泛函数取驻值，泛函 数的一次变分为零。 微分方程 ?2? ? ? = 0 (0 ≤ ? ≤ 1) ??2 边界条件 ? = 0 ? = 0 边界条件1 ?? = 1 ? = 1 边界条件2 ?? 理论解 ? = (?? ? ???) ( ? + ??1) 本问题的泛函数 2 Π ? = 1 2 1 ?? ?? 0 2 + ? ?? ? ? 1 泛函数的一次变分为零 1 ?? ??? ?Π ? = + ??? ?? ? ?? 1 ?? ?? 0 1 1 ?2? ?? = ??2 ? ? ???? ? ?? 1 ?? ?? ? 0 0 1 ? ? ?? = ? ??2 ? ? ???? + ?? ? 1 ?? 1 0 ?=1 =0 以上推导时：T选取时满足边界条件1，且?? 0 = 0。 考虑??的任意性，可得微分方程与边界条件2。 3、变分原理与里兹法 用里兹法进行求解。取与伽辽金法同样的试探函数 ? = ?1? +?2?2 +?3?3 变分原理： 泛函数取驻值，泛函 数的一次变分为零。 Π ?1,?2,?3 1 = 1 ?1 + 2