高考专题---极坐标与参数方程、不等式选讲（理科专用）（解析版）.docVIP

专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值． 【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）． 【解析】（1）因为，且， 所以C的直角坐标方程为．的直角坐标方程为． （2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）． C上的点到的距离为． 当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为． 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题． 2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离． 【答案】（1）；（2）2． 【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，），B（，）， 由余弦定理，得AB=． （2）因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为． 又，所以点B到直线l的距离为． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 3．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）；（2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）因为，又，故有 ．所以． （2）因为为正数且，故有 =24．所以． 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P． （1）当时，求及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1），l的极坐标方程为；（2）． 【解析】（1）因为在C上，当时，．由已知得． 设为l上除P的任意一点．在中，，经检验，点 在曲线上．所以，l的极坐标方程为． （2）设，在中， 即．因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．所以，P点轨迹的极坐标方程为． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 5. 【2018年理数全国卷II】设函数f(x)=5? （1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围． 【答案】（1）{x|-2≤x≤3},(2)(-∞,-6]∪[2,+∞) 【解析】（1）当a=1时，f(x)=2x+4,x≤-1,2,-1x≤2,-2x+6,x2.可得f(x)≥0 （2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立． 故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2， 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)． 一、考向分析： 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 坐标系 参数方程 直角坐标系 圆的参数方程 椭圆的参 数方程 极坐标系 直线的参 数方程 不等式选讲 不等式选讲 绝对值不等式 不等式证明的基本方法 绝对值不等 式的解法 比较法 综合法 分析法 绝对值三 角不等式 柯西不 等式 二、考向讲解 考查内容 解 题 技 巧 极坐标与 参数方程 (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标． (3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． (4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便． （5）已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)。 a.若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|eq \o(M0M1,\s\up6(→))||eq \o(M0M2,\s\up6(→))|＝|t1t2|，|eq \o(M1M2,\s\up6(→))|＝|t2－t1|＝eq \r(?t2＋t1?2－4t1t2)。 b．若线段M1M2的中点为M3，点M1，