电动力学第六章答案.doc

电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 1 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 证明 根据题意 不妨取如下两个参考系 并取分别固着于两参考系的直角坐标系 且令 t 0 时 两坐标系对应轴重合 计时开始后 Σ′ 系沿Σ 系的x 轴以速度v 作直线运动 根据伽利略变换 有 ? = ? ? x′ x y y ′ = ? ? z′ = z ? ? ? t′ = t vt 1 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 z’ z Σ Σ′ y rv o x o’ vv rv′ y’ x’ 以牛顿第二定律为例 v F = m v d x 2 dt 2 在Σ 系下 v F = m v dx dt 2 Q x′ = x ? vt, y′ = y, z′ = z,t′ = t v ∴ F = m d 2[x vt, y , z ] ′ + ′ ′ dt′ 2 = m′ v d x′ 2 dt ′ 2 = r F′ v 课后答案网 可见 在Σ′ 系中 牛顿定律有相同的形式 F′ == m′ v d x′ 2 dt′ 2 所以 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 2 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 v v B ? 以真空中的麦氏方程? 为例 设有一正电荷 q 位于O′点 并随Σ′ 系运动 × = E ? ?t 在Σ′ 中 q 是静止的 故: v q ′ v E = ′ e r 4πε r ′2 0 v , B′ = 0 r v B′ ? 于是 方程 × E ? ?′ ′ = 成立 ? ′ t v q ′ v 将E = e ′ 写成直角分量形式; 4πε r′ 2 r 0 Ev v v q x y ′ ′ + ′ = [ ex e 4πε 3 3 ′ y ′ 0 (x ) ( ) ′ z 2 y 2 y′ + + x + + z 2 ′ 2 2 ′ ′ ′ 2 2 2 + z ′ + v e ] 3 z ′ (x′ + y + z ) 2 2 ′ ′ 2 2 - 1 - 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 由伽利略变换关系有 在Σ 中 Ev v v = + q x vt y { ex e ? y 4πε 3 3 0 [( ? ) ] [( ) ) x vt y ? 2 2 2 2 2 2 + z x vt y + z 2 + + 2 + + z v e 3 z [(x ? vt)2 + y + z ) 2 2 2 ∴?× Ev q 3 [( )v = ? y ? z e 4πε 2 2 2 32 x [(x ? vt) + y + z ] 0 + + (z ? x + vt evy + x ? vt ? y evz ) ( ) ] v 可见 E ?× 不恒为零 又在Σ 系中观察 q 以速度v evx 运动 故产生电流 Jv = v qve x 于是有磁场 B μ qv = R 是场点到x 轴的距离 0 2πR v ?B 此时 有 = 0 ?t 于是 ?× v E ≠ ? v ? B ?t 课后答案网 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 2 设有两根互相平行的尺 在各自静止的参考系中的长度均为l0 它们以相同的速率v 相 对于某一参考系运动 但运动方向相反 且平行于尺子 求站在一根尺子上测量另一根 尺子的长度 解 根据相对论速度交换公式 可得Σ ′ Z ′ ′ z vv z 相对于Σ ′ vv 1 的速度大小是 ′ ′ Σ Σ 2v v = ′ v 2 1 + c 2 ′ ′ ′ o x ′ x o ∴在Σ ′ Σ2 系中静长为l0 的 ′ O X 尺子的长度为 - 2 - 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 l v′2 = ? 代入 l0 1 v′ c 2 = 2v v 2 2 1 + c 即得 l v 2 1 ? = 此即是在Σ ′ l c v 2 ′ 1 系中观测到的相对于 Σ2 静止的尺子的长度 0 2 1+ c 2 3 静止长度为l0 的车厢 以速度 v 相对于地面 s 运行 车厢的后壁以速度u0 向前推出一 个小球 求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间 解 根据题意 取地面为参考系S 车厢为参考系S′ 于是相对于地面参考系S 车长 v 2 l = l0 1? 车速 v 球速 c 2 u = u 0 1 + + v u v 0 c 2 故在地面参考系S 中观察 小球在此后 由车后壁到车前壁 ?t = u l ? v = v u v 2 l 1? l ( 0 1+ ) 0 2 0 c c 2 = u + v v 2 0 ? v u 1 u v ? 课后答0 案网 c 2 1 + 0 c 2 4.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者 在经过某一高大建筑物时 看见其避雷针上跳起 一脉冲电火花 电