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2.3 电荷 q 均匀分布在半径为 a 的导体球面上,当导体球以角速度ω 绕通过球心的 z 轴
旋转时,试计算导体球面上的面电流密度。
解 导体球上的面电荷密度为
q
ρ =
S
4π a
2
球面上任一点的位置矢量为 = ,当导体球以角速度ω
r era 绕通过球心的 z 轴旋转时,该
点的线速度为
v = ω ×r = e ×e = e
zω ra φωasinθ
则得导体球面上的面电流密度为
qω
J = ρ v = e sinθ
S S φ
4π a
4
4 2
? ?
ρ = ? ε U d 3 x 3
2.6 平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为 ,阴极板位于 x=0
0 0
9
处,阳极板位于 x=d 处,极间电压为U0 ;如果U0 = 40V,d =1cm ,横截面 ,求:
s =10cm
2
(1)x=0 至 x=d 区域内的总电荷量;(2)x=d/2 至 x=d 区域的总电荷量。
解 (1)
(2)
4
d
q = ∫ ρ V = ∫ ? ε U d? x? S x =
d ( ) d
4 3 2 3
1 0 0 0
9
V
1
4
? ε U S = ?4.72×10? C
11
0 0
3d
4
d
q = ∫ ρ V = ∫ ? ε U d? x? S x =
d ( ) d
4 3 2 3d ( ) d
2 2 0 0
9
V d
2
4 1
? (1? ) U S = ?0.97×10 C
ε ?11
0 0
3d 2
3
q1 = ?0.3μc q = μc
2 0.5
2.7 在真空中,点电荷 位于点 A(25,-30,15)cm;点电荷 位于点
B(-10,8,12)cm。求:(1)坐标原点处的电场强度;(2)点 P(15,20,50)cm 处的电场强度。
解 (1)源点的位置矢量及其大小分别为
′= ? + ′ = + + =
2 2 2
r e 25 e 30 e 15 cm, r 25 30 15 41.83 cm
1 x y z 1
′ = ? + + ′ = + + =
2 2 2
r e 10 e 8 e 12 cm, r 10 8 12 17.55 cm
2 x y z 2
而场点 O 的位置矢量 r0 = 0 ,故坐标原点处的电场强度为
? ?
1 q q
E = ? (r ? r )+ (r ? r )?
′ ′ 1 2
0 4πε ? ′3 0 1 ? ′ 3 0 2
? r r r r ?
? ? 0 0 1 0 2
? ? ×
?6
1 0.3 10
? ( )
= ?e 25+ e 30 + e 15 ×10 +
?2
? ×
3 x y z
4 41.83 10
πε
( )
?2
0 ?
?
0.5×10 ? ? × ?
?6
( )
?2
e 10 e 8 e 12 10
3 ?
x y z
( )
17.55 10
× ?2 ? = e 92.37 ? e 77.62 ? e 94.37 KV/m
x y z
2-1
(2)场点 P 的位置矢量为
r e 15 e 20 e 50 cm
P = x + y + z
故
r r e 10 e 50 e 35
? ′= ? + +
P 1 x y z
r r e 25 e 12 e 38
? ′ = + +
P 2 x y z
则
?? ×
?6
1 0.3 10
( )
?2
E e 10 e 50 e 35 10
= ? ? + + ×
p πε x y z
? ′3
4 ?
r r
?
0 1
P
?
0.5 10
×
?6
+ + × ? =
( )
?2
e 25 e 12 e 38 10
3 x y z
r ? r ??
P 2
ex11.94 ? ey 0.549+ ez12.4 KV/m
+
ρ
2.9 无限长线电荷通过点(6,8,0)且平行于 z 轴,线电荷密度为 ;试求点 P(x,y,z)
l
处的电场强度 E。
解 线电荷沿 z 方向为无限长,故电场分布与 z 无关。设点 P 位于 z=0 平面上,如题 2.9
图所示,线电荷与点 P 的距离矢量为
R = e ( ? 6)+ e ( ?8)
x y x y
R
= x ? 6 + y ?8
( )2 ( )2
e
R
R
= =
R
e x ? 6 + e y ?8 ( ) ( )
( ) ( )
x y
( )2 ( )2
x ? 6 + y ?8( )2 ( )2
根据高斯定律得点 P 处的电场强度为
ρ ρ ρ e ( ? 6)+ e ( ?8)
R
x y
E = e = ? = ?
l l l
x y
R 2 2
2πε 2πε 2πε ( 6) ( 8)
R R R
x ? + y ? 0 0 0
ρ 、ρ
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