(可直接使用)7.2 紧致性与分离性公理.ppt

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精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 §7.2 紧致性与分离性公理   本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系.   掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质. 1. 定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集,则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V= 一、Hausdorff空间中紧致子集 ., * A x y Uy Vy ., * 令         ,它们分别是点x和集合A的开邻域. 证明 设A是一个紧致子集,x∈ . 对于 每一个y∈A,由于X是一个Hausdorff空间, 故存在x的一个开邻域  和y的一个开邻域   集族{ | y∈A}明显是紧致子集 A的一个开覆盖, 它有一个有限子族,设为{     },覆盖A. 此外,由于对于每一个i=1,2,…,n有: 所以 ., * 2.推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集. 证明 设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集. 推论7.2.2结合定理7.1.5可见: 3.推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中,一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集. U x VA ., * 1.推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间. 证明 设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集,x是X中的一个不属于集合A的点.     紧致空间:闭集 紧致子集    Hausdorff空间:闭集 紧致子集 紧致的hausdorff空间:闭集 紧致子集 二、紧致空间中的分离性公理 这就证明了X是一个正则空间. 由于紧致空间中的闭子集是紧致的(参见定理7.1.5),所以A是一个紧致子集. U x VA ., * 2.定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间.如果A和B是X的两个无交的紧致子集,则它们分别有开邻域U和V使得U∩V= . 集族{ | x∈A} 是紧致子集A的一个开覆盖,它有一个有限子族,设为{     },覆盖A. 证明 设A和B是X的两个无交的紧致子集. 对于任何x∈A,根据定理7.2.1,点x和集合B 分别有开邻域         . 由于对于每一个i=1,2,…,n有 ∩V= ,所以U∩V=  . 令 ., *  空间  空间  空间  空间 正规空间 完全正则空间 正则空间 紧致空间中: 推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是 的. ., * 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件 精选 课件

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